定理知：F1F22PF12PF222PF1PF2cos4c2．①
由椭圆定义知：PF1PF22a②，则②2－①得
PF1

PF2
2b2
1cos
．
S故F1PF2

12
PF1

PF2
si

12b2si
21cos
b2ta
．2
例6已知动圆P过定点A3，0，且在定圆B：x32y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
即定点A3，0和定圆圆心B3，0距离之和恰好等于定圆半径，
f即PAPBPMPBBM8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为b42327的椭圆的方程：x2y21．167
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7已知椭圆x2y21，2
（1）求过点P1，1且被P平分的弦所在直线的方程；22
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点
P
、Q
，
O
为原点，且有直线OP
、OQ
斜率满足
kOP
kOQ


12
，
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则
xx1222x1

2y122y22x2
2，2，2x，
y1y22y，
①
①－②得x1x2x1x22y1y2y1y20．
②
③④
由题意知x1

x2，则上式两端同除以x1
x2，有x1

x22y1

y2
y1x1

y2x2
0，
将③④代入得x2yy1y20．⑤x1x2
（1）将x1，y1代入⑤，得y1y21，故所求直线方程为：2x4y30．⑥
2
2
x1x22
将⑥代入椭圆方程x22y22得6y26y10，364610符合题意，2x4y30为所求．
4
4
（2）将y1y22代入⑤得所求轨迹方程为：x1x2
x4y0．（椭圆内部分）
（3）将y1y2y1代入⑤得所求轨迹方程为：x1x2x2
x22y22x2y0．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得：
x12x222
y12y22
2，
⑦，
将③④平方并整理得
fx12x224x22x1x2，
⑧，
y12y224y22y1y2，
⑨
将⑧⑨代入⑦得：
4x22x1x24
4y22y1y2
2，
⑩
再将
y1y2


12
x1x2
代入⑩式得：
2x2

x1x2

4
y2

2

12
x1x2


2
，
即
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
x2y21．12
例8已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程．
5
解：（1）把直线方程yr