(教师版)椭圆标准方程典型例题
例1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0,2)求m的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c2,根据关系a2b2c2可求出m的值.解:方程变形为x2y21.因为焦点在y轴上,所以2m6,解得m3.62m又c2,所以2m622,m5适合.故m5.
例2已知椭圆的中心在原点,且经过点P3,0,a3b,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数a和b(或a2和b2)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在x轴上时,设其方程为
x2a2
y2b2
1a
b
0.
由椭圆过点P3,0,知
9a2
0b2
1.又a3b,代入得b2
1,a2
9,故椭圆的方程为
x29
y2
1.
当焦点在
y轴上时,设其方程为
y2a2
x2b2
1a
b
0.
由椭圆过点
P3,0
,知
9a2
0b2
1.又a3b,联立解得a2
81,b2
9,故椭圆的方程为
y281
x29
1.
例3ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析:(1)由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解.(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程.
解:(1)以BC所在的直线为x轴,BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为x,y,由GCGB20,
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因a10,c8,有b6,
故其方程为x2y21y0.
10036
(2)设Ax,y,Gx,y,则x2y21y0.
①
10036
f由题意有
x
y
x,3代入①,得y3
A的轨迹方程为x2900
y2324
1y
0,其轨迹是椭圆(除去x
轴上两点).
例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为45和25,过P点作焦点所在轴
3
3
的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为F1、F2,且
PF1
453
,
PF2
253
.从椭圆定义知2a
PF1
PF2
2
5.即a
5.
从PF1
PF2知PF2
垂直焦点所在的对称轴,所以在RtPF2F1中,si
PF1F2
PF2PF1
1,2
可求出PF1F2
6
,2c
PF1
cos6
2
53
,从而b2
a2
c2
10.3
∴所求椭圆方程为x23y21或3x2y21.
510
105
例
5
已知椭圆方程x2a2
y2b2
1ab0,长轴端点为A1,A2,焦点为F1,F2,P是
椭圆上一点,A1PA2,F1PF2.求:F1PF2的面积(用a、b、表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角
的两邻边,从而利用S
12
absi
C
求面积.
解:如图,设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.
由余弦r