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“中国剩余定理”算理及其应用
“中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕20；〔3，5〕15；〔3，4〕12；〔3，4，5〕60。为了使20被3除余1，用20×240；使15被4除余1，用15×345；使12被5除余1，用12×336。然后，40×1＋45×2＋36×4274，因为，27460，所以，274－60×434，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕56；〔3，8〕24；〔3，7〕21；〔3，7，8〕168。为了使56被3除余1，用56×2112；使24被7除余1，用24×5120。使21被8除余1，用21×5105；然后，112×2＋120×4＋105×51229，因为，1229168，所以，1229－168×753，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕88；〔5，11〕55；〔5，8〕40；〔5，8，11〕440。为了使88被5除余1，用88×2176；使55被8除余1，用55×7385；使40被11除余1，用40×8320。然后，176×4＋385×3＋320×22499，因为，2499440，所以，2499－440×5299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕35；〔9，5〕45；〔9，7〕63；〔9，7，5〕315。为了使35被9除余1，用35×8280；使45被7除余1，用45×5225；使63被5除余1，用63×2126。
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然后，280×5＋225×1＋126×21877，因为，1877315，所以，1877－315×5302，r