运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆x2y2r2上
一点Mx0y0的切线方程为x0xy0yr2；当Mx0y0在圆外时，过M点引切
线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0xy0yr2。那么，在圆锥曲线中，又
将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆
x2a2

y2b2
1
a
b0上一点M

x0

y0

切线方程为
x0xa2

y0yb2
1
；（2）当M

x0

y0
在椭圆x2a2

y2b2
1
的外部时，过M
引切线有两条，
过两切点的弦所在直线方程为：x0xy0y1a2b2
证明：（1）
x2a2

y2b2
1的两边对x
求导，得
2xa2

2yyb2
0，得
y
xx0
b2x0a2y0
，由
点斜式得切线方程为yy0
b2x0a2y0
x

x0

，即
x0xa2

y0yb2

x02a2

y02b2
1
。
（2）设过椭圆
xa
22

y2b2
1
a
b0外一点M

x0

y0
引两条切线，切点分别
为Ax1
y1、Bx2
y2。由（1）可知过
A、B
两点的切线方程分别为：x1xa2

y1yb2
1
、
x2xa2
y2yb2
1
。又因M
x0

y0
是两条切线的交点，所以有
x1x0a2

y1y0b2
1
、
x2x0y2y01
a2
b2
。观察以上两个等式，发现Ax1
y1、Bx2
y2满足直线
x0xa2

y0yb2
1
，所以过两切点
A、B两点的直线方程为
x0xa2

y0yb2
1
。
评注：因M

x0

y0
在椭圆x2a2

y2b2
1
ab0上的位置（在椭圆上或椭圆
外）的不同，同一方程x0xy0y1表示直线的几何意义亦不同。a2b2
联想二：（1）过双曲线
xa
22

y2b2
1
a0b0上一点M
x0

y0
切线方程为
x0xa2

y0yb2
1
；（2）当M

x0

y0
在双曲线x2a2

y2b2
1
的外部时，过M
引切线有两
条，过两切点的弦所在直线方程为：x0xy0y1。（证明同上）a2b2
联想三：（1）过圆锥曲线Ax2Cy2DxEyF0（A，C不全为零）上的点
M
x0

y0

的切线方程为
Ax0x

Cy0
y

D
x
x02
E
yy02
F0
；（2）当
fMx0y0在圆锥曲线Ax2Cy2DxEyF0（A，C不全为零）的外部时，过M
引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：Ax0x
Cy0y

D
x
x02

E
y
y02

F

0
证明：（1）两边对x求导，得2Ax2CyyDEy0
得
y
xx0
2Ax02Cy0
DE
，由点斜式得切线方程为
y
y0
2Ax02Cy0
DExx0
化简得2Cy0y2Cy02EyEy02Ax0xDx2Ax02Dx00…………………①
因为Ax02Cy02Dx0Ey0F0…………………………………………………②
由①－②×2
可求得切线方程为：
Ax0x
Cy0y

D
x
x02

E
y
y02

F

0
（2）同联想一r