信息工程系教学教案第一学期
《高等数学》教案
f第八章无穷级数
第四节幂级数第七十一课时
栏目
第七十二课时
内容
教学目的
理解幂级数的概念和性质，掌握幂级数的性质及幂级数收敛区间的求法
教学重点
幂级数收敛域的确定方法幂级数收敛域的确定方法
讲授法案例教学法讲练结合级数的定义级数收敛与级数部分和数列的关系
教学难点
教学方法
复习提问
课时：2课时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）函数项级数1．函数项级数的概念如果级数u
xu1xu2x
1
u
x
的各项都是定义在区间I上的函
数，则称级数u
x为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数项级数．
1
u
x称为一般项或通项．
2．函数项级数的有关概念
f在函数项级数u
x中，当x在区间I中取某个确定值x0时，则得到一个常数
1

项级数
uxuxux
1
01020

u
x0


1
如果级数1收敛，则称点x0是函数项级数u
x的收敛点；
1
如果级数1发散，则称点x0是函数项级数u
x的发散点．
1
函数项级数u
x的所有收敛点的全体称为它的收敛域．
1

对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s．这样，在收敛域上函数项级数的和是x的函数sx，通常称sx为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，即在收敛域上有
sxu
x
1
函数项级数u
x的前
项部分和记为s
x，则在收敛域上有lims
xsx
1


r
xsxs
x为函数项级数的余项，有limr
x0当然只有x在收敛

域上r
x才有意义．（二）幂级数及其收敛区间1．幂级数定义：形如a
xx0
a0a1xx0a2xx02
0
a
xx0
2的函数
项级数，为幂级数，其中a0a1

a

称为幂级数的系数．
a
x

特殊：当x00时，上式变为a
x
a0a1xa2x2
0
3
说明：作变换yxx0，级数2就变为级数3．因此，我们主要讨论形如3的
f幂级数．2．幂级数的收敛区间定理：如果lim

a
1，其中a
、a
1为幂级数a
x
相邻两项的系数，则a
0
（1）当0时，该幂级数在x
1

R内绝对收敛，在x
1

R内发散
（2）当0时，该幂级数在实数域（即x）内绝r