对收敛（3）当时，该幂级数除原点（即x0）外，处处发散证明：将级数a
x
的各项取绝对值，
0
得到正项级数a
x
a0a1xa2x2a
x
．
0

下面利用正项级数的比值判别法来考察a
x
的敛散性．
0

则lim

u
1ax
1alim
1
lim
1xx．
au
a
x
1
（1）当0时，若x1，即x

时，级数a
x
收敛，则a
x
绝
0
0


对收敛；若x1，即x
1

时，lim

u
1ax
1lim
1
x1，故
u
a
x

所给级数各项的绝对值越来越大，因此limu
a
x
0，则a
x
发


0
散（2）当0时，此时x01，由（1）可知，a
x
绝对收敛
0
时，（3）当若x0，x1，a
x
发散若x0，a
x
a0
0
0


收敛这个结论表明，只要0R，就会有一个对称开区间RR，在这个区间
f内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，当xR时，级数可能收敛也可能发散．称R为幂级数3的收敛半径．区间－R，R称为该幂级数的收敛区间．幂级数在收敛区间内绝对收敛．我们把收敛区间的端点xR代入幂级数中，判别所得到的常数项级数的收敛性后，就可以得到幂级数的收敛域．特别，当R时，级数3对一切实数x都绝对收敛；当R0时，幂级数3仅在x0处收敛．
【例1】求幂级数
1
1
1


x
的收敛域．
1
1
1
解收敛半径Rlim
a
lima
1

1，收敛区间为－1，1．

当x1时，级数成为交错级数

1
1

1
1，收敛；

当x1时，级数成为

，发散．
1
1
所以该级数的收敛域为11．【例2】求幂级数

x
1



的收敛域．
解收敛半径Rlim

a


1limlime100，
1
a
1
1
1
1
收敛域为xx0，即级数仅在x0处收敛．


【例3】求幂级数
x
的收敛域．
0


解收敛半径Rlim

a
1
1limlim，
a
1
1
所以该级数的收敛域为．
【例4】求幂级数
x1
的收敛域．
1
2

f解：令tx1，上述级数变为t的幂级数
t
，
1
2

因为Rlim

a
a
1
12
r