1当x∈［1，e］时，g′x10．x∴函数gxxl
x在1，e上是增函数．
∴gx
max
a2xaxa，且x∈1e，a0．x2x2xaxa0，①当0a1且x∈［1，e］时，f′xx2a2∴函数fxx在［1，e］上是增函数，x
∵f′x1∴fxf11a2mi
由1a≥e1，得a≥e，又0a1，∴a不合题意．
2
gee1．
②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则f′x
xaxa0，
x2
f若a＜x≤e，则f′x∴函数fxx∴fx
mi

xaxa0．
x2
a2在1a上是减函数，在a，e上是增函数．xfa2a
e1，2
由2a≥e1，得a≥又1≤a≤e，∴
e1≤a≤e．2
③当ae且x∈［1，e］时，f′x∴函数fxx∴fxmi
由e
xaxa0，
x2
a2在1，e上是减函数．xa2feee
a2≥e1，得a≥e，e又ae，∴ae．e1综上所述，a的取值范围为∞．2
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