全国高中数学联赛模拟试题（八）
（选题人：李潜）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设logab是一个整数，且loga
1ba2；b③0＜a＜b＜1；其中正确结论的个数是（A）1（B）21logablogba2，给出下列四个结论b
①
②logablogba0；④ab10．（C）3（D）4
a2a2b2c02、若△ABC的三边长a、b、c满足，则它的最大内角度a2b2c30
数是（A）150°（B）120°（C）90°（D）60°
2b2x2y23、定长为l（l）的线段AB的两端点都在双曲线221（a＞0，aabb＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为
（A）
al2ab
22
（B）
al2a2b2al2a2a2b2
（C）
al2a2a2b2
（D）
4、在复平面上，曲线z4z1与圆z1的交点个数为（A）0（B）1（C）2（D）35、设Exy0≤x≤20≤y≤2、Fxyx≤10y≥2y≤x4是直角坐标平
xx2y1y2面上的两个点集，则集合G1x1y1∈Ex2y2∈F所22
组成的图形面积是（A）6（B）2π（C）65（D）76、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°
二、填空题：（每小题9分，共54分）
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fsi
αsi
αsi
αsi
α的值等24cos4αcos3αcos3αcos2αcos2αcosαcosα于．1112、1．1212312320043、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A、点，B则这个椭圆的离心率等于．4、从123…20中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．
1、已知α
π
，则
zzzabi5、设a、b均为正数，且存在复数z满足，则ab的最大值z≤1等于．8
76、使不等式对惟一的一个整数k成立的最大正整数
为．15
k13
三、（20分）
已知实数x、y满足x2y2≤5．求fxy3xy4y97y3x18的最大值与最小值．
四、（20分）
经过点M21作抛物线y2x的四条弦PiQii1234，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：
PMPMP1MP2M34．MQ1MQ2MQ3MQ4
五、（20分）
为正整数，r＞0为实数．证明：方程x
1rx
r
10没有模为r的复数根．
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f第二试
一、（50分）
设CI是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从I出发垂直于边BC、CA和AB的直线CI的交点．求证：AD、BE和CF三线共点．
二、（50分）
非负实数x、y、z满足x2r