向量的线性运算(一)
1向量的加法
向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示:ABBC规定:零向量与任一向量a,都有a00aa.
AC.
【注意】:两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
作法:在平面内任意取一点O,作OAa,ABa,则OBOAABabAB
O
2向量的加法法则
(1)共线向量的加法:同向向量反向向量OABBO
O
A
B
B
O
A
(2)不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三角形法则(“首尾相接,首尾连”)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)。三角形法则:根据向量加法定义得到的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。表示:ABBC
AC.
平行四边形法则:以同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形
ABCD,则以A为起点的对角线AC就是a与b的和,这种求向量和的方法称为向量加法
的平行四边形法则。如图,已知向量a、b在平面内任取一点A,作ABa,BCb,则向量AC叫做a
王新敞
奎屯新疆
与b的和,记作ab,即abABBCAC
1
fCBA
C
D
B
三角形法则
A
平行四边形法则
【说明】:教材中采用了三角形法则来定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的特殊情况:探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;
王新敞
奎屯新疆
(2)当向量a与b不共线时,ab的方向不同向,且abab(3)当a与b同向时,则ab、a、b同向,且abab当a与b反向时,若ab则ab的方向与a相同,且abab;若ab则ab的方向与b相同,且abba(4)“向量平移”:使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到
个向量连加
3向量加法的运算律(1)向量加法的交换律:abba(2)向量加法的结合律:abcabc证明:如图:使ABaBCbCDc则abcACCDAD,abcABBDAD∴abcabr