同济大学高等数学（上）期中考试试卷2
一选择题（每小题4分）
1以下条件中（
）不是函数fx在x0处连续的充分条件
（A）
lim
xx00
f
x

lim
xx00
f
x0
lim
（B）xx0
fx

fx0
（C）fx0存在
（D）fx在x0可微
2以下条件中（
）是函数fx在x0处有导数的必要且充分条件
（A）fx在x0处连续
（B）fx在x0处可微分
limfx0xfx0x
（C）x0
x
存在
limfx
（D）xx0
存在
fxx1
3x1是函数
si
x的（
（A）可去
（B）跳跃
）间断点（C）无穷
（D）振荡
4设函数fx在闭区间ab上连续并在开区间ab内可导，如果在ab内
fx0，那么必有（
）
（A）在ab上fx0
（B）在ab上fx单调增加
（C）在ab上fx单调减少
5设函数
（D）在ab上fx是凸的
fxx23x2si
x，则方程fx0在0内根的个数为（）
（A）0个
（B）至多1个
（C）2个
（D）至少3个
二求下列极限（每题5分）
liml
b1ax1x0si
ax（a0）
a3lximex1x（a0）
三求下列函数的导数（每题6分）
axbsi
xlim2xcxdcosx（c0）
1
limsi
xx24x0x
1
y

l

ta

x2


cos
x
l
ta

x
求
y

2设Fx是可导的单调函数，满足Fx0，F00方程
FxyFxFy
dy
确定了隐函数yyx，求dxx0
xl
1t2
d2y
3设yyx是参数方程yarcta
t确定的函数，求dx2
fl
xe4设函数fxax
x0x0（a0），问a取何值时f0存在？
四（8分）证明：当x0时有exxe，且仅当xe时成立等式
五（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带
球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？
4
6

x
六（10分）设函数fx在区间ab上连续，在区间ab内有二阶导数如果fafb且存在cab使得fcfa，证明在ab内至少有一点，使得f0
七（10分）已知函数yfx为一指数函数与一幂函数之积，满足：
limfx0limfx
（1）x
，x
；
（2）yfx在内的图形只有一条水平切线与一个拐点
试写出fx的表达式
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