，∴DGAC，又∵△AEC为等边三角形，∴AEAC，∴DGAE，在△DGF和△EAF中，
，
∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DFEF，即F为DE中点．
3在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB90°，∠ABC45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DADB，EBEC，∠ADB∠BEC90°，连接DE交AB于点
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fF．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC30°，∠ADB∠BEC60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC30°，∠ADB∠BEC60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB∠BEC2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DFEF的猜想．【解答】解：（1）DFEF．（2）猜想：DFFE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB90度．∵DADB，∠ADB60度．∴AGBG，△DBA是等边三角形．∴DBBA．∵∠ACB90°，∠ABC30°，∴ACABBG．
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f在Rt△DBG和Rt△BAC中
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DGBC．∵BEEC，∠BEC60°，∴△EBC是等边三角形．∴BCBE，∠CBE60度．∴DGBE，∠ABE∠ABC∠CBE90°．∵∠DFG∠EFB，∠DGF∠EBF，在△DFG和△EFB中
∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DFEF．
（3）猜想：DFFE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB90度．∵DADB，∴AHBH，∠1∠HDB．∵∠ACB90°，∴HCHB．在△HBE和△HCE中
∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2∠3，∠4∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE90°．∴∠3∠ABC90°∵∠ADB∠BEC2∠ABC，
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f∴∠HDB∠BEH∠ABC．∴∠DBC∠DBH∠ABC∠DBH∠HDB90°，∴∠3∠DBH∠EBH∠EBK∠ABC∠EBK∠BEK90°∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DHBE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DFEF．
4已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1r