数列与不等式综合题的破解策略
之“先放缩后求和”
策略一：先将通项公式适当放缩成_______________，再求和已知正项数列a
的前
项和为S
，且a11a
S
S
1
2，
（1）求数列a
的通项公式以及S
；
（2）求证1117
S1S2
S
4
第（2）问
变式1：设b


a
21a
21
31
，数列b

的前前


项和为T

，求证T



1
第（2）问变式2：1115
S1S2
S
3
f策略二：先将通项公式适当放缩成______________，再求和（2014新课标2理）已知数列a
满足a11，a
13a
1．
⑴证明
a


1
2

是等比数列，并求
a


的通项公式；
⑵证明：11…13．
a1a2
a
2
练习1、（2015杭州一模）设数列a
的前
项的和为S
，且满足S
a

N
（1）求数列a

的通项公式；（2）求证：
12a1

122a2
…12
a


2
练习2、（2012广东理）设数列a
的前
项的和为S
，且满足2S
a
12
11
N，
且a1a25a3成等差数列，（1）求数列a
的通项公式；
（2）求证：对一切的正整数
有11…13
a1a2
a
2
f策略三：先将通项公式适当放缩成_______________，再求和
已知
N，求证：
11223
1
12
2
2
练习、已知各项均为正数的数列a
的前
项和为S
且a
2a
2S

1
求证：S


a
2

a2
1
4
；
2求证：S
2
S1
S2
S


S
112
数列与不等式综合题的常见放缩方法总结：
一、具备求和条件的数列不等式先求和再放缩
二、不具备求和条件的数列不等式先将对应的通项公式放缩再求和：
目标1：放缩成裂项相消型求和
目标2：放缩成等比数列求和
总之，放缩成可求和的数列
目标3：放缩成等差数列求和
（注：放缩过大时，可以考虑保留某几项不动或进一步缩小通项公式）
常用放缩的结论：
（1）
1


1
1

1
1

1
2

1
1

1
1
1



2
11
1
111

2


2
1


1
1

2

1

1

2
1
2

1
21
_________________________________
4
（22
1

2
12
2
2
1

1
2

1
f课后练习：
1已知正数列a
，其前


项和
S


14
a
2

12
a


34
，

N

（1）求数列a
的通项公式；
（2）若
c


11a


N
，且数列
c

的前


项和为
T

，试比较
T

和
16
的大小并证明
r