高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程例1求过两点A14、B32且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P24与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为xaybr．
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∵圆心在y0上，故b0．∴圆的方程为xayr．
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又∵该圆过A14、B32两点．
1a216r23a4r
22
∴
解之得：a1，r20．
2
所以所求圆的方程为x1y20．
22
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A14、B32两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为
kAB42131，故l的斜率为1，又AB的中点为23，故AB的垂直平分线l的方程为：
y3x2即xy10．
又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C10∴半径rAC
114
2
2
2

20．
故所求圆的方程为x1y20．
2
又点P24到圆心C10的距离为
dPC214
22

25r．
∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
f例2求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．
22
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆C：xaybr．
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圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1a4或C2a4．又已知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为21，半径为3．
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若两圆相切，则CA437或CA431．1当C1a4时，a2417，或a2411无解，故可得
222222
a2210．
∴所求圆方程为x2210y44，或x2210y44．
222222
2当C2a4时，a2417，或a2411无解，故
222222
a226．
r