计算多项式的值计算P
x共需
如将P
x写成
每取akxk有k次乘法运算因此次乘法和
次加法运算。
P
x…a
xa
1xa
2x…a1xa0
用秦九韶算法u0a
ukuk1xa
kk12…
。最终P
xu
共需
次乘法和
次加法运算。一般地要注意能在循环外计算就不要放在循环内计算。
5选用数值稳定性的算法
例I
e1x
exdx
012…
f用分部积分公式得递推式I
1
I
1I01e1
用四位有效数字计算I006321I11I003679I212I102642I313I202074I414I301704I515I401480I616I501120I717I602160I818I707280
可以估计出
故00460I70125000409I801111
于是I7与I8精确值已经面目全非一位有效数字也没有。这是由于如果I0有误差e05×104不计中间再产生的舍入误差该误差随着计算过程分别乘以23…78到时已经变成了8e误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。
如果递推式改为
由I701124逐步计算I6I5…
f直到I006321。计算结果有四位有效数字如果I7有误差e其传播到I0所引起
的误差仅为
。故该算法是稳定的。
绪论与误差
1误差和误差限
xε≤x≤xε或xx±ε
ε误差限
2相对误差和相对误差限
3有效数字
1有效数字x±10ma1a2×101…a
×10
1
其中aii1…
是0到9中的一个数字，a1≠0m为整数，且exx≤ε05×10m
1
2设近似值x±0a1a2…a
×10m有
位有效数字a1≠0则其相对
误差限
反之，若近似值的相对误差限为
f则x至少有
位有效数字。4数值计算中误差的传播1四则运算中误差的传播
2基本运算对函数中的误差估计efxfxfx
误差限记作εfx，如果fx是可微的则：
若f′x与f″x的比值不大可忽略εx的高阶项εfx≈f′xεx
f和efx≈f′xex
相对误差为
习题一1按四舍五入原则，求下列各数的具有四位有效数字的近似值：
168957300045732250000152632解
16903000732300015262设下列各数均未经过四舍五入后的道的近似值，试求各数的绝对误差限和相对误差限。
a3580b000476c2958×102d01430×102解
a358003580×104
绝对误差限104405相对误差限
104
b0004760476×102
绝对误差限102305×105相对误差限c2958×10202958×102
1031000125
绝对误差限102405×102相对误差限1041000025
fd01430×102
绝对误差限102405×106相对误差限
104100005
3已知a12031b0978是经过四舍五入后得到的近似值，问aba×b有几位有效数字。解
eabeaeb000005000050000552有效数字ea×beabaeb0000r