数值分析第一次上机练习实验报告
Lagra
ge插值与三次样条插值一、问题的描述1i设fxx∈11取xi1i01210试求出10次Lagra
ge插219x5
值多项式L10x和三次样条插值函数Sx采用自然边界条件并用图画出fxL10x
Sx
方法描述Lagra
ge插值与三次样条插值二、方法描述
我们取xi1
i1i01210，通过在xi点的函数值fxi来对原函数519xi2
进行插值，我们记插值函数为gx，要求它满足如下条件：
gxifxi
1i0121019xi2
1
我们在此处要分别通过Lagra
ge插值即多项式插值与三次样条插值的方法对原函数
fx
1进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。19x2
10次的Lagra
ge插值多项式为：
L10x∑yilix
i0
10
2
其中：
yifxi
以及
1i0121019xi2
lix
xx0xxi1xxi1xx
xix0xixi1xixi1xix

i01210
我们根据2进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagra
ge插值。理论上我们根据区间11上给出的节点做出的插值多项式L
x近似于fx，而多项式L
x的次数
越高逼近fx的精度就越好。但实际上并非如此，而是对任意的插值节点，当
→∞的时候L
x不一定收敛到fx；而是有时会在插值区间的两端点附近
f会出现严重的L
x偏离fx的现象，即所谓的Ru
ge现象。因此用高次插值多项式
L
x近似fx的效果并不总是好的，因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项
式插值，而用分段低次插值，而这样的插值效果往往是非常好的，能够克服高次多项式插值的弱点，达到令人满意的效果。分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性，但是光滑性较差，而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而对第三种插值方式，我们得到的是一个样条曲线，它是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即样点上二阶导数连续。我们记三次样条插值函数为Sx，它在每个小区间xjxj1j0129上是三次函数，因此在每个区间上需要确定4个参数，总共有10个小区间，因此共需确定40个未知参数。首先我们有插值条件：
Sxjyj
119x2j
j01210
3
其次在每个节点xjj129上满足连续性条件：
Sxj0Sxj0Sxr