第1讲函数与方程思想、数形结合思想
高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查1函数与方程思想的含义1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2函数与方程的思想在解题中的应用1函数与不等式的相互转化，对于函数y＝fx，当y＞0时，就转化为不等式fx＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前
项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论3数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；
f②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质4在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合
热点一函数与方程思想的应用微题型1不等式问题中的函数方程法【例1－1】1fx＝ax3－3x＋1对于x∈－1，1，总有fx≥0成立，则a＝________2设fx，gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′xgx＋fxg′x＞0，且g－3＝0，则不等式fxgx＜0的解集是________解析1若x＝0，则不论a取何值，fx≥0显然成立；当x＞0即x∈0，1时，fx＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥x32－x13设gx＝x32－x13，则g′x＝3（1－x42x），所以gx在区间0，21上单调递增，在区间21，1上单调递减，因此gxmax＝g21＝4，从而r