，1x1x22ab
∴x1x2x1x2
11115abab，∴x11x21ab，22224
全国初中数学联赛模拟题第5页共2页
f∴4x11x212a12b15∵ab是正整数，∴x1，x2均是正整数，∴a1≥0，b1≥0，x11≥0，x21≥0，
x11x210x11x211∴或2a12b152a12b11x11x210a1（1）当时，由ab是正整数，且a≤b，∴b32a12b15
∴方程为x－3x20，∴方程两根为：x11或x22；
2
x11x211a1（2）当时，此时，x12或x22；b12a12b11
R
S
12．（1）证明：连结OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC∵CD⊥AB，∴PCPDPO．又∵PCPMPN，∴PDPOPMPN∵∠MPD∠OPN，∴△PMD∽△PON，∴∠PMD∠PON，∴∠NME∠NOB，∴NE2NB，∴NE⊥ABF点，连结MB∵∠MRD∠MBA∠MEA，∠MDR∠EDF，∴△MDR∽△FDE，∴DRDFDMDEDADB∵NE⊥AB，∴NE∥CF，∴∠AFD∠AEN∠DBS∵∠ADF∠SDB，∴△ADF∽△SDB，∴DSDFDADB，∴DRDFDSDF，∴DRDS，∴R、S重合，即三条直线AM、DC、BN必交于一点13．已知：如图，抛物线f1：yx3x4，抛物线f2：yx3x4交于A、B两点，P在抛物线f1上位于AB之间上的一点，Q在抛物线f2上位于AB之间上的一点（1）若PQ∥y轴，求PQ长度的最大值；（2）当P在抛物线f1上运动，Q在抛物线f2上运动时，求四边形APBQ面积的最大值解：（1）当PQ∥y轴时，设P点的坐标为（t，t3t4），Q点的坐标为（t，t3t4）∴PQ2（t4）当t0时，PQ的长度有最大值8
全国初中数学联赛模拟题第6页共2页
2222222
CMPAFE
N
DOB
（2）证明：延长AM交直线CD于R点，延长BN交直线CD于S点，连结AE交直线CD于
f（2）连结AB，分别过P点作AB的平行线交两坐标轴于C、D两点，AD⊥x轴于点E
yx23x4x2x2联立：，∴或，2yx3x4y6y6
∴A（2，6），B（2，6），∵PC∥AB，∴△DCO∽△AOE，∴
ODAE3OCOE
设直线PC的解析式为ykxb，b∴ODb，OC，3b∴C（，0），∴k3，3即直线PC的解析式为yxb要使四边形APBQ的面积最大，易知PC与抛物线有且只有一个交点，
yx23x4联立：，∴x2b40，∴b4，y3xb
x0此时，即P点的坐标为（0，4），同理可求Q点的坐标为（0，4r