43完全四点形和完全四线形
内容解析
全四点形．定义45平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，叫做完全四点形全四点形见图43，
DCA
B
图43
这个图形含有四个点ABCD，及六条直线AB，BC，CD，DA，BD，AC，每一个点称为顶点，每一条直线称为边．如图45所示，不过同一顶点的两边称
S
DC
R
AB
Q
图45
为对边（如AD与BC）共有三对对边．，每一对对边的交点称为对边点或对角点（如AD与
BC的交点S），三个对边点（SQR）构成的三角形（三点形）称为对边三角形．
叫做完全四线定义46平面内无三线共点的四直线及其两两的交点＃所构成的图形，完全四线形．见图46，
P
b
BR
a
C
c
D
QA
d
EF
图46
这个图形含有四条直线（abcd）和六个点（A，B，C，D，E，F），每一条直线称为边，每一个点称为顶点．不在同一边上的两个顶点称为对顶点（如A与D）．六个顶点分为三对，每一对对顶点的连线，称为对顶线（AD，EC，BF），三条对顶线构成的三角形称为对角三角形（PQR）．完全四点形和完全四线形具有如下性质．即通过这个对角点的两边和定理49完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，
1
f对角三角形的两边．如图45，
S
DC
R
A
B
Q
图45
比如对角点S的两边SA、SB和对角三角形SQR的两边SR、SQ．是一组调和线束．410定理410完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点．如图46，P
b
R
a
C
BQA
c
D
d
EF
图46
比如对角线CE上的两个顶点C、E和对角三角形PQR的两个顶点P、Q，是一组调和点列．
典型例题
例1设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交ACBD于LM，不用笛沙格定理，证明YZBLCM共点．证明如图47，
X
D
C′C
YABN
LZ
图47
M
2
f对四线形ABCD，根据定理410可知，在对角线AC边上的四点ACYL调和共轭，即
ACYL1．
在四点形YBZL中，LB与YZ交于N，设MN与YL交于C′，由定理49可知，过对角点M有一组调和线束，即MA、MC′和MY、ML，于是AC′YL1，所以，点C应与点C′重合，即YZBLCM共点．
（二）完全四点形与完全四线形的调和性习题答案1．设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC、BD于L、M，不用狄沙格定理证明：YZ、BL、CM共点。证明：考虑四点形ABCD在边AC上四点ACYL调和分割∴（AC，YL1，再考虑四点形YBZLLB与YZ交于N，MN交YL于C’∴（AC’，YL）1∴C与C’重合
3
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