12mxmxxmx另一根为
2
m
由213
m得
2
23
m即为所求2方程有且只有一根且这个根在区间
m内即0此时由0可以求出参数的值然后再将参数
的值带入方程求出相应的根检验根是否在给定的区间内如若不在舍去相应的参数。如方程
24260xmxm有且一根在区间30内求m的取值范围。分析①由300ff即
141530mm得出15314m
②由0即2
164260mm得出1m或32
m当1m时根230x∈即1m满足题意当32m时根330x故3
2
m不满足题意
综上分析得出15
314
m或1m
根的分布练习题
例1、已知二次方程2
21210mxmxm有一正根和一负根求实数m的取值范围。
解由2100mf即2110mm从而得1
12
m即为所求的范围。
f例2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根求实数m的取值范围。解由
0102200mf

2
18010m
mmm3
30mmm
03m3m
例3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点一个大于1一个小于1求实数m的取值范围。
解由210mf即2210mm1
22
m即为所求的范围。
例4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1求实数m的取值范围。解由题意有方程在区间01上只有一个正根则010ff4310m1
3
m即为所求范围。
注本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在01内由0计算检验均不复合题意
计算量稍大
f2、二次函数在闭区间
m上的最大、最小值问题探讨
设002
acbxaxxf则二次函数在闭区间
m上的最大、最小值有如下的分布情况
a
b
m2
abm
2即
ma
b2∈
ma
b
2图
象
最大、最小值


fxfmfxfmi
max


abfxfmf
fxf2maxmi
max

mfxf
fxfmi
max
对于开口向下的情况讨论类似。其实无论开口向上还是向下都只有以下两种结论
1若
mab2∈
则
fabfmfxf2maxmax

fabfmfxf2mi
mi
2若
ma
b
2则
fmfxfmaxmax
fmfxfmi
mi
另外当二次函数开口向上时自变量的取值离开x轴越远则对应的函数值越大反过来当二次函数开口向下时自变量的取值离开x轴越远则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值讨论的情况无非就是从三个方面入手开口方向、对称轴以及闭区间以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数2
220fxaxaxba≠在23r