二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程
02cbxax根的分布情况设方程2
00axbxca≠的不等两根为12xx且12xx相应的二次函数为20fxaxbxc
方程的根即为二次函数图象与x轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件
表一两根与0的大小比较即根的正负情况
分
布情况
两个负根即两根都小于0
1200xx两个正根即两根都大于0
1200xx
一正根一负根即一个根小于0一个大于0120xx
大致图象
a
得出的结论
00200baf
0
0200
baf
00f
大
致图象
a
得出的结论
00200baf
0
0200
baf
00f
综
合结论不讨论
a

00200baaf
0
0200
baaf
00fa
f
分
布情况
两根都小于k即kxkx21两根都大于k即kxkx21一个根小于k一个大于k即
21xkx
大致图象
a
得出的结论
020bkafk
0
20
bkafk
0kf
大
致图象
a
得出的结论
020bkafk
0
20
bkafk
0kf
综
合结论不讨论
a

020bkaafk
0
20
bkaafk
0kfa
k
k
k
f分
布情况
两根都在
m内
两根有且仅有一根在
m内
图象有两种情况只画了一种一根在
m内另一根在
qp内qp
m
大
致图象
a
得出的结论
0002fmf
bm
a

0
fmf
0
000fmf
fpfq
或0
0fmf
fpfq
大致图象
a
得出的结论
0002fmf
bm
a

0
fmf
0000
f
mf
fpfq
或0
0fmf
fpfq
综合结论不讨论
a

0
fmf

0
0qfpf
fmf根在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间
m外即在区间两侧12xmx
图形分别如下
需满足的条件是
f
10a时00fmf
20a时0
fmf

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明1两根有且仅有一根在
m内有以下特殊情况
1若0fm或0f
则此时0fmf
不成立但对于这种情况是知道了方程有一根为m或
可以求出另外一根然后可以根据另一根在区间
m内从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间13上有一根因为10f所以2
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