柯西不等式试题
一、选择题（本大题共4小题）1设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是
A．1
B．3
C．3
D．9
2已知a21＋a22＋…＋a2
＝1，x21＋x22＋…＋x2
＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a
x
的最大值为
A．1
B．2
C．－1
D．不确定
3若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为

A．3
B．1
C．
33
D．3
4已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1则1x＋4y＋9z的最小值为

A．24
B．30
C．36
D．48
二、填空题（本大题共2小题）52013湖南高考已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
6设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则ax＋＋by＋＋cz
＝________
三、解答题（本大题共4小题）7已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．
8已知fx＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，
当x1x2＝1时，必有fx1fx2≥1
9求实数x，y的值使得y－12＋x＋y－22＋2x＋y－62取到最小值．
10△ABC的三边长a，b，c，其外接圆半径为R求证：a2＋b2＋c2si1
2A＋si1
2B＋si1
2C≥36R2
1
f0柯西不等式试题答案解析
一、选择题1【解析】由柯西不等式得a2＋b2＋c212＋12＋12≥a＋b＋c2，∴a＋
b＋c2≤3×1＝3当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．
∴a＋b＋c的最大值为3故选B【答案】B2【解析】∵a1x1＋a2x2＋…＋a
x
2≤a21＋a22＋…＋a2
x21＋x22＋…＋x2
＝1×1＝1当且仅当ai＝xi＝
i＝12，…，
时等号成立．
∴a1x1＋a2x2＋…＋a
x
的最大值是1故选A．【答案】A3【解析】∵a＋b＋c＝1a＋1b＋1c，且a，b，c大于0由柯西不等式，1a＋1b＋1c2≤12＋12＋12a2＋b2＋c2∴a2＋b2＋c2≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
∴a2＋b2＋c2的最小值为3【答案】D4【解析】x＋y＋z1x＋4y＋9z
≥x1＋y2＋z32＝36
x
y
z
∴1x＋4y＋9z≥36
【答案】C
二、填空题5【解析】∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6
∴a2＋4b2＋9c212＋12＋12≥a＋2b＋3c2，即a2＋4b2＋9c2≥12当且仅当1a＝21b＝31c，即
a＝2，b＝1，c＝23时取等号．
【答案】126【解析】由柯西不等式知：25×36＝a2＋b2＋c2x2＋y2＋z2≥ax＋by＋cz2＝302＝25×36，
2
f当且仅当ax＝by＝cz＝k时取“＝”．
由k2x2＋y2＋z22＝25×36，解得k＝56
所以ax＋＋by＋＋cz＝k＝56
【答案】
56
三、解答题7【解】由柯西不等式得
x2＋4y2＋z21＋1＋1≥x＋2y＋z2，∵x＋2y＋z＝1，∴3x2＋4y2＋z2≥1，即x2＋4y2＋z2≥13
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