第3讲函数的单调性
课时数量适用的学生水平
2课时（120分钟）
优秀
√中等
基础较差
理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数
单调性．
教学目标（考试要求）
根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性．能讨论简单复合函数的单调性．
渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问
题的能力．
教学重点、难点
重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性．难点：复合函数的单调性分析．
建议教学方法
数形结合，讲练结合
资料
x，y同号，x
平均变化率＞0，
y
增函数；
x，y异号，x
平均变化率＜0，
y
减函数．
教学内容
一、知识梳理
单调性定义
设函数y＝fx的定义域为A，区间MA如果取区间M上的任意两个值x1x2，改变量xx2x1＞0，则当yfx2fx1＞0时，就称函数fx在区间M上是增函数；当yfx2fx1＜0时，就称函数fx在区间M上是增函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）．
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f提示
函数fx、gx公共定义域指fx的定义域与gx的定义域的交
集．
提示
这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的图象不难理解．
二、方法归纳
在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．
设x1x2ab，若有（1）fx1fx2＞0，则有fx在ab上是增函数．
x1x2
（2）fx1fx2＜0，则有fx在ab上是减函数．
x1x2在函数fx、gx公共定义域内，
增函数fx增函数gx是增函数；减函数fx减函数gx是减函数；增函数fx减函数gx是增函数；减函数fx增函数gx是减函数．
函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．
若函数yfx在定义域ab上递增，则函数值域为fa，fb；若函数yfx在定义域ab上递减则函数值域为fb，fa；若函数yfx在定义域ab上递增，则函数值域为fa，fb；若函数yfx在定义域ab上递减，则函数值域为fb，fa；若函数yfx在定义域ab上递增r