2dt2

b
dxdt

ml
d2dt2
cos

mlddt
2
si


F
（214）
然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：
P

mg

m
d2dt2
l
cos
（215）
P

mg

ml
d2dt2
si


mlddt
2
cos
力矩平衡方程如下：
Pl
si


Nl
cos

I
d2dt2
（216）（217）
此方程中力矩的方向，如图所示则cossi
si
si
，故等
式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
I

ml2
d2dt2

mgl
si


ml
d2xdt2
cos
5
（218）
f倒立摆系统的控制器设计
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）
相比很小，即1，则可以进行近似认为cos1si
d20。用u来代dt
表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下3：
I

ml2
d2dt2

mgl

mld2x2dt2
M

m
d2xdt2
b
dxdt

ml
d2dt2

u
假设初始条件为0，对式39进行拉普拉斯变换，得到：
Iml2ss2mglsmlXss2
M

mX
ss2

bX
ss

mlss2

Us
（219）（2110）
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
X
s


I
mlml
2


gs2

s
（2111）
s
mls2

XsIml2s2mgl
（2112）
令v

x，则有：
sVs

I

mlml2s2

mgl
（2113）
把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：
M

m
I
ml2ml

gs

ss2

b
I
ml2ml

gs2

ss

mlss2

U
s
（2114）
mls2
整理后得到传递函数：sUs

s4

bI

ml2
s3

qM

mmgl
s2

bmgl
s
q
q
q
（2115）
其中qMmIml2m2l2。
6
f倒立摆系统的控制器设计
22拉氏变换后实际系统的模型
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
sXs

002725s200102125s2026705
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
（221）
sVs

00272500102125s2026705
（222）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
sUs

s3

235655s00883167s2279169s

230942
（223）
7
f倒立摆系统的控制器设计
3开环响应分析
当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。由式（221）、（212）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数：
XsVs

1s2
利用Matlab中的Simuli
k仿真工具进行仿真，仿真系统的结构如图
（31）
摆杆角度的单位脉冲、阶跃响应，小车位置的单位脉冲、阶跃响应如下图
8
f倒立摆系统r