2HRR
【例题】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
B
A★解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题．A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此
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f时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压
力一定是竖直向下的．
由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程
12
m2v2

m2g

2R

12
m2v02
根据牛顿运动定律
对于
A
球，
N1

m1g

m1
v02R
v2对于B球，N2m2gm2R
又N1N2
解得
m1

m2

v02R
m1
5m2g

0
【例题】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
Rh
★解析：25R≤h≤5R【例题】如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光华圆环内侧运动，阻力不计，求
⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力★解析：⑴小球在下滑的过程中机械能守恒，设地面为零势能面，小球下落的高度为h，小
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f球能到达环顶端市的速度最小为v2。小球到达环顶端而不离开的临界条件为重力恰好全部提供向心力
mgmv2即vgRR
小球在开始的机械能为E1mgh
小球在环顶端的机械能为
E1

mg
2R

12
mv22
根据机械能守恒E1E2
整理得：h25R，即小球至少从离底端25R出滑下才能到达环顶而不离开圆环。
⑵当环从h25R处下滑到底部速度为vB，由机械能守恒得
12
mv
2B

mgh
即vB2gh
小球在底端受到重力mg和支持力N，小球作圆周运动所需要的向心力由支持力和重力提供，
即
N
mg

mv
2B
R
整理得：N6mg
圆环对小球的支持力与小球对圆环的压力是作用力反作用力，所以小球作用于圆环的压力为
6mg
99
fr