求线段和周长最小值试题解法
20092011年很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况不但能了解学生综合运用数学知识解题能力而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考深入了解学生的探索能力与识别能力这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析一、“定动定”型试题例109山东威海如图1在直角坐标系中点ABC和坐标分别为103003过ABC三点的抛物线的对称轴为直线lD为对称轴l上一动点求当ADCD最小时点D的坐标
例209福建彰州如图2O⊙的半径为2点ABC、、在O⊙上OAOB⊥
60AOC∠°P是OB上一动点求PAPC的最小值
评析例1与例2均涉及两个定点一个动点属求“定动定”型折线最小值问题源于课本“在直线上找一点使其到直线同侧两点距离之和最短”只是将问题背景改为抛物线或圆以此考查学生的识别能力这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现用其检查学生灵活运用知识的能力
二、“定动动”型试题
例3陕西省如图3在锐角△ABC中AB24∠BAC45°∠BAC的平分线交BC于点DM、N分别是AD和AB上的动点则MNBM的最小值是_________
评析本题涉及两个动点一个定点属求“定动动”型折线最小值问题由于两个动点在定点的同侧因此只能根据“垂线段最短”这一性质入手进行解题三、“定动动定”型试题例4福建彰州如图4∠AOB45°P是∠AOB内一点PO10Q、R分别是OA、OB上的动点求△PQR周长的最小值
分析点P是角内部的一个定点要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线
解分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2连结P1P2
根据轴对称性易知OP1OP2OP10∠P1OP22∠AOB90°因而P1P2102
故△PQR周长的最小值为102
P2
P1A
B
PR
Q
O
图4
AB
CDN
MN′图3
图1A′
A
B
CPO图2
f例509湖北恩施恩施州自然风光无限特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷A和世界级自然保护区星斗山B位于笔直的沪渝高速公路X同侧AB50kmA、B到直线X的距离分别为10km和40km拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直建立如图5所示的直角坐标系B到直线Y的距离为30km请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q使P、A、B、Q组成的四r