求数列通项公式方法大全
一、累加法
适用于：a
1a
f
这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
例1已知数列a
满足a
1a
2
1，a11，求数列a
的通项公式。
解：由a
1a
2
1得a
1a
2
1则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a12
112
212212111
2
1
221
112
1
11
2
1
11
所以a
2。

2
例2已知数列a
满足a
1a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
解法一：由a
1a
23
1得a
1a
23
1则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a123
1123
21232123113
23
13
23231
13
313
1
2

13
13
3
3
13
所以a
3
1
3
1
解法二：a
1
3a

23

1两边除以3
1，得
a
13
1

a
3


23
13
1
，
则a
13
1

a
3


23

13
1
，故
a
3



a
3


a
1a
1
a
1
a
1

a
23
2



a
23
2

a
33
3




a232

a131


a13


23

13




23

13
1



23

13
2




23

132


33

2
13


13


13


13
1

13
2


132


1
1
f因此a
3


2
13

13

13
113
1
2
3

12

123

，则a


2
3
3

13
2

12
练习1已知数列a
的首项为1，且a
1a
2
N写出数列a
的通项公式
答案：
2
1
1练习2已知数列a
满足a13，a
a
1
1
2，求此数列的通项公式
答案：裂项求和
a


2
1

评注：已知a1aa
1a
f
，其中f
可以是关于
的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a

①若f
是关于
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和②若f
是关于
的二次函数，累加后可分组求和③若f
是关于
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和④若f
是关于
的分式函数，累加后可裂项求和。
例3已知数列a
中
a


0且S


12
a



a

求数列a
的通项公式
S
解由已知

12
a



a

S
得

12
S


S
1

S

S
1
化简有
S
2


S2
1



由类型1有
S
2


S12

23

又S1

a1得a1

1
所以
S
2



12
又a


0s


2
12
2
12
1
a
则
2
此题也可以用数学归纳法来求解
二、累乘法
适用于：a
1f
a
这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。
2
f例4已知数列a
满足a
12
15
a
，a13，求数列a
的通项公式。
解：因为a
1

2
15

a
，a1

3，所以a


0
，则
a
1a


2
15

，故
a


a
a
1

a
1a
2


a3a2

a2a1
a1
2
115
12
215
2
22152211513
2
1
132r