全国高中数学联赛模拟题
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）填空题（1已知a≥2，Ax2≤x≤a，Byy2x3x∈A，Cttxx∈A，且
2






若CB，则a的取值范围是
。
2在ABC中，若AB2，AC3，BC4，O为ABC的内心，且
uuuv
uuuv
uuuv
uuuvuuuvuuuvAOλABBC，则λ

2x1x≤03已知函数fx若关于x的方程fxxa有且只有两个不相等fx1x0
的实数根，则实数a的取值范围是。
4已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为－1，1和2，2，若直线lx＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是_______________________
5已知椭圆
x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆43
．
于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是
6、设abcd为已知常数，且b≥c≥d≥0，要使
xaxabxabcxabcxabcdxabcd为
常数，则x的取值范围是____________________．
f7如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。
8在平面直角坐标系内，将适合xyx3y3且使关于t的方程
x3y3t43xyt2
所成区域的面积为
10没有实数根的点xy所成的集合记为N，则由点集Nxy
。
二、解答题（本题满分56分）解答题（本小题满分对正整数
≥2，a
记9（本小题满分16分）
∑
k2k1，求数列a
中的最大值．
k1

1


1
f10（本小题满分20分）已知椭圆10（本小题满分
x2y21过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭a2b2
圆与曲线yx的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足
2e21时，求实数m的取值范围。3
f11、（本题满分20分）、（本题满分、（已知：abc≥0，abc
2，
bccaab≤1。求证：1abcab1abcbc1abcca
f1答：32
1

22≤2a3B12a3，要使CB，只需C中的最大元素在B当中，所以，2a≤2a3
得
1≤a≤3。2
2答：
79
uuur3uuu2uuurrBDAB2，于是ADABAC，又DCAC355uuur5uuur1uuu2uuur1uuu2uuuuuurrrrAOABACABAC5，所以AOADABACABABBCODBDCDBDCD493939uuu2uuurr57ABAC，因此λ。9r