天才来自勤奋，聪明源于积累
选修11
圆锥曲线的方程与性质
1、椭圆中的几个重要结论：（1）定义及周长：
2
设
P
是椭圆
x2a2

y2b2
1ab0上的点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2θ
则
S△PF1F2

b2
ta

2
3当P为短轴端点时∠F1PF2为最大；当P为短轴端点
时，S△PF1F2有最大值最大值为bc；4椭圆上的点A1（A2）距O最远最远距离为a，B1（B2）
B2
P
A1F1O
A2F2
B1
距O最近最近距离为b；b2c2PF1PF2b25过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦（通径）为最短，其长度为2b2；
a6焦半径公式：PF1aex0，PF2aex0
7椭圆上的点A1距F1的距离最近最近距离为ac，A2距F1的距离最远最远距离
为ac；
8b2PF1PF2a2；
（9）A1
、A2为椭圆
x2a2

y2b2
1a
b
0长轴两端点
P
为椭圆上异于A1
、A2的点
则kPA1
kPA2
b2a2

（10）kAB
kOM


b2a2

11已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任
意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无
y－
y＋
y2－
2关的定值，kPMkPN＝x－mx＋m＝x2－m2＝
ab22xx22－－mm22＝
ba22定值
（12）经过椭圆
x2a2

y2b2
1a
b0上一点Mx0y0的切线方程为
x0xa2

y0yb2
1。
1
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选修11
2、双曲线中的几个重要结论：（1）定义及周长：
2
设
P
是双曲线
x2a2
y2b2
1上的点，F1，F2是双曲线的焦点，∠F1PF2θ
则
S△PF1F2

b2
cot
2
（3）过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦（通径）为最短，其长度为2b2；a
（4）特征三角形：
①设P是双曲线x2a2

y2b2
1右支上的点，
F2到其一条渐近线的距离为b

②过双曲线x2a2

y2b2
1右焦点
F2引其一条渐近线的垂线，则第一象限内垂足的坐标
a2abcc
5焦半径公式：PF1aex0，PF2aex0
6
设
P
是双曲线
x2a2
y2b2
1右支上的点，则
PF2
ca，
PF1
ac
【例】（重庆高考）已知双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b
0
的左、右焦点分别为
F1c0F2c0
，若双曲线上存在一点
P
使
si
PF1F2si
PF2F1

ac
，则该双曲线的离心率的取
值范围是
．
（7）渐近线方程：与双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b
0
共渐近线的双曲线系方程为
x2a2

y2b2


0
，渐近线的方程为
xa
22

y2b2
0．
（8）若M，N为双曲线ax22－by22＝1a0，b0上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上
任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置
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