所示，抛物线y2＝2pxp0的准线为x＝－，Ax1，y1，2Bx2，y2，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，pAF＝dA＝x1＋，2pBF＝dB＝x2＋，253于是AB＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p225当x1＝x2时，AB＝2pp，直线AB与Ox不垂直．2p设直线AB的方程为y＝kx－2py＝kx－，12由得k2x2－pk2＋2x＋k2p2＝04y2＝2px，pk2＋23x1＋x2＝＝p，解得k＝±2k22pp∴直线AB的方程为y＝2x－2或y＝－2x－211．解1由题意知，抛物线焦点为10，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0设Ax1，y1、Bx2，y2，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，→→OAOB＝x1x2＋y1y2＝ty1＋1ty2＋1＋y1y2＝t2y1y2＋ty1＋y2＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－32设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设Ax1，y1、Bx2，y2，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b→→∵OAOB＝x1x2＋y1y2
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抛物线的几何性质二
＝ty1＋bty2＋b＋y1y2＝t2y1y2＋bty1＋y2＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点20．p－，0，12．1证明∵Q2∴直线l的方程为y＝py＝2x＋22由2y＝2px消去x得y2－22py＋p2＝0解得AB2px＋，22
3＋22，2p，2＋1p
3－222p，2－1p
p→而F2，0，故FA＝1＋2p，1＋2p，→FB＝1－2p，2－1p，→→∴FAFB＝－p2＋p2＝02解kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0
因直线l与抛物线交于A、B两点，p故直线l方程：y＝kx＋2k≠0．
y＝kx＋p2，消去x得ky2－2py＋kp2＝0由2y＝2px
设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1y2＝p2kFA＝y2，k＝，pFBpx1－x2－22p2y2p2y2y1
∴kFA＝
y2＝＝＝－kFB2y1pp22py22－－2p2y2p22p－2p2
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抛物线的几何性质二
13．证明如图所示．pp1抛物线y2＝2pxp0的焦点F2，0，准线方程：x＝－2p设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，2化简，得y2－2pky－p2＝0∴y1y2＝－p2，
2y2y1y22－pp21y2∴x1x2＝＝＝＝2p2p4p24p2422
2根据抛物线定义知ppFA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，22∴1111＋＝＋FAFBppx1＋x2＋2222＋2x1＋p2x2＋p22x2＋p＋22x1＋p2x1＋p2x2＋p4x1＋x2＋4p4x1x2＋2px1＋x2＋p24x1＋x2＋p2＝2px1r