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,消去x得y2-4ty-4=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4,→→∴OAOB=x1x2+y1y2=ty1+1ty2+1+y1y2=t2y1y2+ty1+y2+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-32证明设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
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f→→∴OAOB=x1x2+y1y2=ty1+bty2+b+y1y2=t2y1y2+bty1+y2+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,∴直线l过定点20.→→∴若OAOB=-4,则直线l必过一定点.y212.给出双曲线x2-=121求以A21为中点的弦所在的直线方程;2若过点A21的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点P的轨迹方程;3过点B11能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.解
22x21-y1=2,1设弦的两端点为P1x1,y1,P2x2,y2,则22两式相减得到2x1-x2x12x2-y2=2,
+x2=y1-y2y1+y2,又x1+x2=4,y1+y2=2,y1-y2所以直线斜率k==4x1-x2故求得直线方程为4x-y-7=02设Px,y,P1x1,y1,P2x2,y2,y1-y22x按照1的解法可得=,x1-x2y由于P1,P2,P,A四点共线,y1-y2y-1得=,x1-x2x-2②①
2xy-1由①②可得=,整理得2x2-y2-4x+y=0,检验当x1=x2时,x=2,y=0也满足yx-2方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2-y2-4x+y=03假设满足题设条件的直线m存在,按照1的解法可得直线m的方程为y=2x-1y=2x-1,考虑到方程组2y2无解,x-2=1因此满足题设条件的直线m是不存在的.13.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=11过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的
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f三角形的面积.2设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ3设椭圆C2:4x2+y2=1若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.1解x22双曲线C1:-y2=1,左顶点A-,0,渐近线方程:y=±2x122
不妨取过点A与渐近线y=2x平行的直线方程为y=2x+

2,即y=2x+122
x=-4,y=-2x,解方程组得1y=2x+1y=2
12所以所求三角形的面积为S=OAy=282证明设直线PQ的方程是y=x+b因为直线PQ与已知圆相切,故b=1,即b2=22
y=x+b,由22得x2-2bx-b2r
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