，消去x得y2－4ty－4＝0，设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，→→∴OAOB＝x1x2＋y1y2＝ty1＋1ty2＋1＋y1y2＝t2y1y2＋ty1＋y2＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－32证明设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
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f→→∴OAOB＝x1x2＋y1y2＝ty1＋bty2＋b＋y1y2＝t2y1y2＋bty1＋y2＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点20．→→∴若OAOB＝－4，则直线l必过一定点．y212．给出双曲线x2－＝121求以A21为中点的弦所在的直线方程；2若过点A21的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；3过点B11能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解
22x21－y1＝2，1设弦的两端点为P1x1，y1，P2x2，y2，则22两式相减得到2x1－x2x12x2－y2＝2，
＋x2＝y1－y2y1＋y2，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，y1－y2所以直线斜率k＝＝4x1－x2故求得直线方程为4x－y－7＝02设Px，y，P1x1，y1，P2x2，y2，y1－y22x按照1的解法可得＝，x1－x2y由于P1，P2，P，A四点共线，y1－y2y－1得＝，x1－x2x－2②①
2xy－1由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足yx－2方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝03假设满足题设条件的直线m存在，按照1的解法可得直线m的方程为y＝2x－1y＝2x－1，考虑到方程组2y2无解，x－2＝1因此满足题设条件的直线m是不存在的．13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝11过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的
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f三角形的面积．2设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ3设椭圆C2：4x2＋y2＝1若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．1解x22双曲线C1：－y2＝1，左顶点A－，0，渐近线方程：y＝±2x122
不妨取过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y＝2x＋

2，即y＝2x＋122
x＝－4，y＝－2x，解方程组得1y＝2x＋1y＝2
12所以所求三角形的面积为S＝OAy＝282证明设直线PQ的方程是y＝x＋b因为直线PQ与已知圆相切，故b＝1，即b2＝22
y＝x＋b，由22得x2－2bx－b2r