勾股定理巧解平行四边形考题
平行四边形是中考的重要考点，勾股定理是成就这个考点的重要工具，二者相得益彰，演绎
出计算证填空，计算证明题等精彩篇目
一计算平行四边形的对角线长
例1（2018临沂）如图1，在平行四边形ABCD中，AB10，AD6，AC⊥BC．则BD
．
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD6，OBDO，OAOC，因为AC⊥BC，所以∠ACB90°，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得
ACAB2BC28，所以OC4，在直角三角形BOC中，根据勾股定理，得
OBOC2BC2213，所以BD2OB413，所以应该填413．
点评：垂直为勾股定理的使用创设了两个直角三角形，利用平行四边形的性质，迁移已知，利用勾股定理生成推知，继而为二次使用勾股定理再次完善条件，直到成功二计算平行四边形推演生成线段的长例2．（2018株洲）如图2，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BDCD，过点A作AM⊥
BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN32，在DB的延长线上取一点P，
满足∠ABD∠MAP∠PAB，则AP
．
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，因为BDCD，所以BDBA，
因为AM⊥BD，DN⊥AB，所以DNAM32因为∠ABD∠MAP∠PAB，∠ABD∠P∠BAP，所以∠P∠PAM，所以△APM是等腰直角三角形，根据勾股定理，得AP2AM6，
f所以应该填6．点评：利用平行四边形的对边相等，把相等的线段集中到一个三角形中，利用同一个三角形的面积相等，得到等边上的高相等，继而得到新的数量线段，立足角的条件，得到三角形是特殊的等腰直角三角形，为解题成功奠定基础三计算原直角三角形的斜边长例3（2018大庆）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
解析：（1）证明：因为D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，所以ED是Rt△ABC的中位线，所以ED∥FC．BC2DE，因为EF∥DC，所以四边形CDEF是平行四边形；（2）解：因为四边形CDEF是平行四边形；所以DCEF，因为DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以AB2DC，所以四边形DCFE的周长ABBC，因为四边形DCFE的周长为25cm，AC的
长5cm，所以BC25AB，在Rt△ABC中，∠ACB90°，所以AB2AC2BC2，
所以AB25225AB2，解得，AB13cm，
点评：利用平行四边形的性质把四边形CDEF的周长转化为ABBC是解题的关键，在直角三角形ABC中，实施勾股定理是解题的基础四计算、证明线段r