1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编
1、集合部分
2018A1、设集合A12399，集合B2xxA，集合Cx2xA，则集合
BC的元素个数为◆答案：24
★解析：由条件知，BC24648，故BC的元素个数为24。
2018B1、设集合A2018，集合B2aaA，则集合AB的所有元素之和是
◆答案：31
★解析易知B40216，所以AB0124816，元素之和为312018B三、（本题满分50分）设集合A12
，XY均为A的非空子集（允许
XY）．X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxXmi
Y．求满足maxXmi
Y
的有序集合对XY的数目。
★解析先计算满足maxXmi
Y的有序集合对XY的数目对给定的mmaxX，集
合X是集合12m1的任意一个子集与m的并，故共有2m1种取法又mmi
Y，
故Y是mm1m2
的任意一个非空子集，共有2
1m1种取法
因此，满足maxXmi
Y的有序集合对XY的数目是：





2m12
1m12
2m1
12
1
m1
m1
m1
由于有序集合对XY有2
12
12
12个，于是满足maxXmi
Y的有序集
合对XY的数目是2
12
2
2
14
2
1
f2017B二、（本题满分40分）给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A1A2Ak，每个子集Ai中均不存在4个数abcd（可以相同），满足abcdm．★证明：取km1，令Aixximodm1xN，i12m1
设abcdAi，则abcdiiii0modm1，
故m1abcd，而m1m，所以在Ai中不存在4个数abcd，满足abcdm
2017B四、（本题满分50分）。设a1a2a2012345，b1b2b2012310，
集合Xij1ij20aiajbibj0，求X的元素个数的最大值。
★解析：考虑一组满足条件的正整数a1a2a20b1b2b20对k125，设a1a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当aiaj时，
5
5
ijX，因此至少有
C2tk
个
i
j
不在
X
中，注意到
tk20，则柯西不等式，我们
k1
k1
有
5
C2tkk1

12


5k1
tk2

5
tk
k1
12


15

5k1
tk
2

5
tk
k1
12020130
2
5
从而X的元素个数不超过C2203019030160
另一方面，取a4k3a4k2a4k1a4kk（k125），bi6ai（i1220），
则对任意ij（1ij20），有
aiajbibjaiaj6ai6ajaiaj20等号成立当且仅当aiaj，这恰好发生5C4230次，此时X的元素个数达到C22030160综上所述，X的元素个数的最大值为160
2016B四、（本题满分50分）设A是任意一个11元实数集合．令集r