第七章欧几里得空间
I单项选择题
1欧式空间V内的s个非零向量12s，如果两两正交，则（）
⑴线性相关⑶互相可以线性表示
⑵线性无关⑷两两夹角为零
1
3
2
给定两个向量1


2a

，

2


24
，且内积
12
1，则a为（
）

3


1

⑴23
⑵34
⑶14
⑷12
3
维欧式空间V的线性变换是可逆的对称变换当且仅当关于V的任意一组标准正
交基的矩阵是（）
⑴可逆变换
⑵对称变换
⑶正交变换
⑷可逆的对称变换
4正交变换在标准正交基下的矩阵是（）
⑴初等矩阵
⑵正定矩阵
⑶正交矩阵
⑷实对称矩阵
5设A为
阶对称矩阵，若A1存在，则A1是（）
⑴正交矩阵
⑵正定矩阵
⑶对称矩阵
⑷反对称矩阵
6下列有关正交变换的命题中，正确的是（）
⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换
⑵保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换
⑶正交变换是对称变换
⑷正交变换在任意一组基下的矩阵是正交矩阵
7在欧式空间V中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）
⑴正定矩阵
⑵对称矩阵
⑶正交矩阵
⑷转置矩阵
8实上三角矩阵为正交矩阵时，必为对角矩阵，其对角线上的元素为（）
⑴1
⑵1
⑶0
⑷1
9欧式空间中线性变换是正交变换的充要条件是（）
⑴为对称变换
⑵保持向量的长度不变
⑶保持向量间的夹角不变
⑷保持向量间的正交关系不变
10
阶实矩阵T是正交矩阵当且仅当T的行向量组是（）
⑴正交组
⑵标准正交组
⑶线性无关组
⑷单位向量组
11正交矩阵的实特征值只能是（）
⑴正实数
⑵负实数
⑶1或1
⑷零
11213
12
矩阵

1
2
1
1
2

是（
）
13121
⑴正交矩阵
⑵非正交矩阵
⑶正定矩阵
⑷实反对称矩阵
f13
设
A

11
11
，
P
为二阶正交阵，且
P
AP


00
02

，则
P
（
）
⑴

1212
12
1
2

1212⑵1212
1212⑶1212
⑷
11
22
12
1
2

14设a1a2，b1b2为二维实空间R2中任意两个向量，R2对以下规定的哪个
内积作成欧式空间（）
⑴a1b2a2b1
⑵a1b1a2b2
⑶a1b1a2b21
⑷a1a2b1a12a2b2
II填空题
1设12s是欧式空间V中的s个向量，如果12s两两正交，则它们______
2欧式空间V内任意两个向量有，等号成立的充要条件是_________
3欧式空间中，正交向量组必__________
4在欧式空间V中，设LVRV如果且________，则称为
________，为________
5如果向量组12ss2中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组
________
6如果对称矩阵A为非奇异矩r