矩阵乘积的运算法则的证明矩阵乘积的运算法则的证明
矩阵乘积的运算法则
1o
乘法结合律：若A∈C
m×

B∈C

×p
C∈C
p×q
，则ABCABC
2o乘法左分配律：若A和B是两个m×
矩阵，且C是一个
×p矩阵，则ABCACBC3o乘法右分配律：若A是一个m×
矩阵，并且B和C是两个
×p矩阵，则
ABCACBC
4o若α是一个标量，并且A和B是两个
×m矩阵，则αABαAαB
证明1
o
①先设
阶矩阵为AaijBbijCcijABdijBCeij
ABCfijABCgij有矩阵的乘法得：dijai1b1jai2b2jLai
b
jij12L
eijbi1c1jbi2c2jLbi
c
jij12L
fijdi1c1jdi2c2jLdi
c
jij12L
gijai1e1jai2e2jLai
e
jij12L
故对任意ij12L
有：
fijdi1c1jdi2c2jLdi
c
jai1b11ai2b21Lai
b
1c1jai1b12ai2b22Lai
b
2c2j
Lai1b1
ai2b2
Lai
b
c
j
ai1b11c1jb12c2jLb1
c
j
fai2b21c1jb22c2jLb2
c
jLai
b
1c1jb
2c2jLb
c
jai1e1jai2e2jLai
e
j
gij故ABCABC②再看Aaikm
Bbkj
pCcjtpqABdijmp
BCekt
q
ABCgitmq
有矩阵的乘法得：
dijai1b1jai2b2jLai
b
jij12L
ektbk1c1tbk2c2tLbkpcptk12L
t12Lqfitdi1c1tdi2c2tLdipcpti12Lmt12Lqgitai1e1tai2e2tLai
e
ti12Lmt12Lq
故对任意的i12Lm
j12Lp
k12L

t12Lq有：
fitdi1c1tdi2c2tLdipcptai1b11ai2b21Lai
b
1c1tai1b12ai2b22Lai
b
2c2t
Lai1b1pai2b2pLai
b
pcpt
ai1b11c1tb12c2tLb1pcptai2b21c1tb22c2tLb2pcpt
Lai
b
1c1tb
2c2tLb
pcpt
6ai1e1tai2e2tLai
e
tgij
f故ABCABC证明2
o
设Aij表示矩阵A的第i行，第j列上的元素，则有
ABCij∑AikBikCkj
k
∑AikCkj∑BikCkj
kk
ACijBCij故证出矩阵乘法左分配律证明3
o
同理矩阵乘法左分配律可得
ACijBCij∑AikCkj∑BikCkj
kk
∑AikBikCkj
k
故证出矩阵乘法左分配律证明4
o
ABCij
设Aaijm

a11a21Mam1
a12La1
b11ba22La2
21，Bbijm
MMMam2Lam
bm1a12b12La1
a22b22La2
Mam2bm2Lam
b1
b2
，Mbm

b12Lb1
b22Lb2
r