20192020年初中数学竞赛辅导（初2）第03讲实数的若干性质和应用第三讲实数的若干性质和应用
用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除零不能做除数是封闭的．
性质1任何一个有理数都能写成有限小数整数可以看作小数点后面为零的小数或循环小数的形式，反之亦然．
例1
分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．
证设
两边同乘以100得
②①得99x2615426125893，
无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理
是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2设a为有理数，b为无理数，则
f1ab，ab是无理数；有理数和无理数统称为实数，即
在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除除数不为零运算，其结果仍是实数即实数对四则运算的封闭性．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．
例2
分析
证
所以
f分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．
证用反证法．
所以p一定是偶数．设p2mm是自然数，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4若a1b1aa2b2a其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数，则a1a2，b1b2，反之，亦成立．
分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为b1b2aa2a1．若b1≠b2，则
f反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．
是无理数，并说明理由．
整理得
由例4知a＝Ab，1A，
说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结
数作为立足点，以其作为推理的基础．
有理
例6已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数即有理数集具有稠密性．
分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．
证因为a＜b，所以2a＜ab＜2b，所以
f说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．
例7已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即由①，②有
f存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
b412b337b26b20的值．分析因为无r