全国初中数学竞赛辅导八年级教学案全集
第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．
用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除零不能做除数是封闭的．性质1任何一个有理数都能写成有限小数整数可以看作小数点后面为零的小数或循环小数的形式，反之亦然．例1
分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设
两边同乘以100得
②①得99x2615426125893，
f无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理
是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2设a为有理数，b为无理数，则1ab，ab是无理数；
有理数和无理数统称为实数，即
在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除除数不为零运算，其结果仍是实数即实数对四则运算的封闭性．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2
分析
f证
所以
分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．
f所以p一定是偶数．设p2mm是自然数，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4若a1b1aa2b2a其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数，则a1a2，b1b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为b1b2aa2a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．
是无理数，并说明理由．
f整理得
由例4知a＝Ab，1A，
说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结
有理数作为立足点，以其作r