全等三角形专题三角形的旋转、翻折与线段的截长补短
经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等
不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的．1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD2，BC8．求BE的长．
图1
图2
解析：由题意得△BFE≌△DFE，∴BEDE，在△BDE中，EDBE，∠DBE45°，∴∠BDE∠DBE45°，∴∠DEB90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD2，BC8，过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，四边形AGED是矩形∴GEAD2，在Rt△ABG和Rt△DCE中，ABDC，AGDE，
∴Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BGCE，∴
，∴BE5．
2．如图3，已知△ABC中，ABAC，∠B2∠A求证：
图3解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D，则∠A∠ABD，∠BDC2∠A∠C∴ADBDBC作BM⊥AC于M，则CMDM．
图4
f3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD
图5图6解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形．∴DEAC，DFBC，AECDBF作DH⊥AB于H，根据勾股定理，∵AD＞BC，AD＞DF∴AH＞FH，EH＞BH，∴DE＞BD，即AC＞BD，
4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，ABCDACBD．求证：ABAC．
图7解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、
，则c
bm，cbm
，∵AD⊥BC，根据勾股定理，得，∴，
f，∵cb＞m
，∴cb0即cb，∴ABAC．
类型二：勾股定理的逆定理的运用
5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA6，PB8，PC10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB________．
图8解析：如图9，连结所以所以三角形则在三角形所以是等边三角形，中是直角，．．．，是由旋转得到的，所以
图9≌
6．如图10，已知∠ABC30°，∠ADC60°，ADDC．求证：
．
图10图11解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BCBE，连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AEDB，∠ABC∠CBE90°，根据勾股定理有，即．
f7．如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BDCE，则A．DEBCB．DE＞BCC．DE＜BCD．DE与BC大小关系决定于∠A的大小．
图12图13解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H．则
根据
，可得到△Br