质点运动学
11解答（1）质点在第1s末的位置为：x16×122×134m．在第2s末的位置为：x26×222×238m．在第2s内的位移大小为：Δxx2x14m，
经过的时间为Δt1s，所以平均速度大小为：vΔxΔt4ms1．
（2）质点的瞬时速度大小为：vtdxdt12t6t2，因此v112×16×126ms1，v212×26×220质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即ΔsΔx4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为：atdvdt1212t，因此1s末的瞬时加速度为：a11212×10，
第2s内的平均加速度为：av2v1Δt0616ms2．
注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．12证明依题意得vt
vo，根据速度公式vtvoat，得
a
1vot，1根据速度与位移的关系式vt2vo22as，得
a
21vo22s，2
2
1s（1）平方之后除以（2）式证得：a
1t2．
计算得加速度为：a

2513051102

04ms2．
13解答方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大
小为
vy0v0si
θ2487ms1．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vtv0at，这里的v0就是vy0，ag；当人达到最高点时，vt0，所以上升到最高点的时间为
t1vy0g249s．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：vt2v022as，可得上升的最大高度为：h1vy022g3094m．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2h1h10094m．
22570m
图13
根据自由落体运动公式sgt22，得下落的时间为t2
2h2449s．g
因此人飞越的时间为：tt1t2698s．人飞越的水平速度为vx0v0cosθ6005ms1，
所以矿坑的宽度为：xvx0t41919m．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vygt698ms1，
落地速度为：vvx2vy2129208ms1，与水平方向的夹角为：φarcta
vyvx4930，方向斜向下．
方法二：一步法．
取向上为正，人在竖直方向的位移为yvy0tgt22，移项得时间的一元二次方程
12
gt
2

v0
si

t

y

0
，
解得：tv0si

v2si
22gyg．0
这里y70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t
698s．由此可以求解其他问题．
dv14证明（1）分离变量得v2kdt，
故vdvktdt，
v2
v0
0
可得：
11kt．vv0
（2）公式可化为vv0，1v0kt
由于
v

dxdt，所以：
dx

v01v0kt
dt

1k1v0kt
d1
v0kt
积分
x0
dx

t0
1k1v0ktr