d1
v0kt
．
f因此
x

1k
l
v0kt
1
．
证毕．
讨论当力是速度的函数时，即ffv，根据牛顿第二定律得fma．
由于ad2xdt2，而dxdtv，
advdt，
分离变量得方程：dtmdv，fv
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的
次方比，则
dvdtkv
．
（1）如果
1，则得dvkdt，v
积分得l
vktC．当t0时，vv0，所以Cl
v0，因此l
vv0kt，得速度为：vv0ekt．
而dvv0ektdt，积分得：xv0ektC．k
当t0时，x0，所以Cv0k，因此xv01ekt．k
（2）如果

≠1，则得
dvv


v1
kdt，积分得
1


kt
C
．
当
t
0时，v
v0，所以
v1
0
1

C，因此
1v
1

1v
1
0

1kt
．
如果
2，就是本题的结果．
如果

≠2，可得
x

1


1v0
1kt
2
1
2v0
2k
1
，读者不妨自证．
15解答（1）角速度为ωdθdt12t248rads1，
法向加速度为a
rω22304ms2；
角加速度为βdωdt24t48rads2，
切向加速度为atrβ48ms2．
（2）总加速度为aat2a
212，
R
成正
A图17
当ata2时，有a4at2at2a
2，即
at3．由此得r2r3，即12t2224t3，
解得t336．
所以24t321333154rad．
（3）当ata
时，可得rβrω2，即：24t12t22，
解得：t1613055s．
16解答建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
y
v0xv0cosθ，v0yv0si
θ．加速度的大小为axacosα，
运动方程为
x

v0xt

12
axt
2
，
ayasi
α．
y

v0
yt

12
ayt
2
．
ayaOαax
θv0xv0y
v0
x
即
x

v0
cos

t

12
a
cos

t
2
，
y

v0
si


t

12
a
si



t
2
．
令y0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t0（舍去）；t2v0si
103s．asi
将t代入x的方程求得x9000m．注意选择不同的坐标系，如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
17解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体
A
下落加速度．由于
h

12
att2
，
所以at2hΔt202ms2．
物体下降3s末的速度为vatt06ms1，
fv2这也是边缘的线速度，因此法向加速度为a
R036ms2．
18解答在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
h1

v0t

12
at2
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为h2

v0t

12
gt2
．
由题意得hh1h2，所以h1agt2，2
解得时间为t2hag0705s．
算得h20716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0716m．注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为agr