专题九
思想方法专题
第二讲
数形结合思想
数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化．它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数，合理用参数，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：1．集合及其运算问题韦恩图与数轴．
1
f2．用函数图象解决有关问题如方程、不等式、函数的有关性质等．3．运用向量解决有关问题．4．三角函数的图象及其应用问题．5．解析几何、立体几何中的数形结合问题．
判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”．1当x∈0，＋∞时，函数y＝fx与y＝fx的图象相同．×2函数y＝afx与y＝faxa0且a≠1的图象相同．×3函数y＝fx与y＝－fx的图象关于原点对称．×4若函数y＝fx满足f1＋x＝f1－x，则函数fx的图象关于直线x＝1对称．√5将函数y＝f－x的图象向右平移1个单位得到函数y＝f－x－1的图象．×
1．2015沈阳三模对实数a与b，定义新运算“”：ab＝
a，a－b≤1，设函数fx＝x2－2x－x2，x∈R若函数y＝fx－cb，a－b＞1
的零点恰有两个，则实数c的取值范围是B
3A－∞，－2∪－1，2
2
f3B－∞，－2∪－1，－411C－∞，4∪4，＋∞31D－1，－4∪4，＋∞
32x－2，－1≤x≤，2解析：由题意得fx＝32－x＋x，x＜－1或x＞，2由y＝fx－c的零点恰有两个，即方程fx＝c恰有两根，也就是函数y＝fx的图象与函数y＝c的图象有两个交点，如图所示，满
3足条件的c为－∞，－2∪－1，－4
2．方程si
x－


πr