角线，∴DF、AE互相平分；
23（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ABBC，又∵ABAC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠AEC90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AFAD，ECBC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且ADBC，∴AF∥EC且AFEC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠190°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：在Rt△ABE中，AE所以，S菱形ABCD8×324．3，
241C
13t1，t1．2213OP22
2∵P0，3，∴OP3．△OCP为等腰三角形：①若OPOC，则OC3，即t13，t2；②若PCOC，则作CE⊥y轴，OE则作PF⊥OC，则PF1或3
3即13，t31；③若P0PC，
133OP，OF222
3OC33即t133t331∴t2或3
3125证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A∠ADC∠BCD∠DCE90°，ADCD，∵DE⊥PD，∴∠ADC∠PDE90°，
f∴∠ADP90°∠PDC∠CDE，∴△PAD≌△ECD，∴APCE，∴BPCEBPAPAB（2）CEBP
2BD；2
2BD；2理由：△PAD≌△ECD，∴CEAP，
∴CEBPAPBPAB
2BD；2（3）①当P在线段AB上时，如图1所示，在BC上取一点G使得BGBP，连接MG、NG，
∵△APD≌△CED，∵APCE，PDED，∴△PED是等腰直角三角形，∴ABBCAPBPBGCG，∴CGCE，∴可证△NCG≌△NCE，∴NGNE，∠NGC∠NEC，∵∠PBM∠GBM45°，BPBG，BMBM，∴△BPM≌△BGM∴PMGM，∠MGB∠MPB，又∠NEC∠MPB90°，∴∠NGC∠MGB90°，∴∠MGN90°，∴MNMG2NG25∴PEPMMNEN35412，
2PE622②当P在AB延长线上时，如图2所示，延长CB至G，使得CGCE，连接MG、NG，
∴PD
f∵APCE，∴CEBCCGBCAPABBPBG，同①可证△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，∴PMGM，GNEN，∠BGM∠BPM90°∠CEN90°CGN，∴∠CGN∠BGM90°∠BGM∠MGN，∴∠MGN90°，∴MNMG2NG25∴PNMNPM532，∴PEPNEN246，
2PE32，2∴PD的长为32或62
∴PD
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