2
2
90017532
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f四川省成都市2013年中考数学真题考试试题解析版
28在平面直角坐标系中，已知抛物线y1x2bxc（bc为常数）的顶点为P等腰直2
角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（43），直角顶点B在第四象限。（1）如图，若该抛物线过AB两点，求抛物线的函数表达式；（2）平（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Qi）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以MPQ三点为
顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；
ii）取BC的中点N连接NPBQ。试探究PQ是否存在最大值？若存在，求NPBQ
出该最大值；所不存在，请说明理由。
解析：
（1）A01C43则｜AC｜40213242
ABC为等腰直角三角形∴ABBC4∴B点41将AB代入抛物线方程有
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12
c1164b
c

1

c1

b

2
∴y1x22x12
（2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动
同样的单位。下面给予证明：
原抛物线y1x24x411x221顶点P为21
2
2
设平移后顶点P为aa1则平移后抛物线y1xa2a1联立yx1直线AC方2
程
得Q点为（a2a3）
∴｜PQ｜22即实际上是线段AP在直线AC上的滑动
）点M在直线AC下方，且MPQ构成等腰直角三角形，那么先考虑使MPQ构成等腰直角三角形的M点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点
①若∠M为直角，则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l
又知｜PQ｜22，则｜MH｜2｜PM｜2直线l即为AC向下平移｜PM｜2个单位Lyx3联立y1x22x1
2
得x1±5
M点为（15，52）或（15，52）
②若∠P或∠Q为直角，即PQ为直角边，MQ⊥PQ且，MQPQ22
或MP⊥PQ且MPPQ22∴M点轨迹是AC下方距AC为22且与AC平行直线L
直线L即为AC向下平移｜MP｜4个单位
Lyx5联立y1x22x1得x4或x22
∴M点为41或（2，7）
综上所有符合条件的点M为（15，52）（41）；（15，52）（2，7）
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知PQ22
PQ有最大值，即NPBQ有最小值
MPBQ
如下图，取AB中点M，连结QMNM知N为中点
∴MN为AC边中位线，∴MN∥AC且MN1AC22PQ2
∴MNPQ∴MNPQ为平行四边形
即PNQMr