分
当
同理可证l
x1x
l
x1<x。9分1a1l
1a11al
1a11a1,11分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,gaf
将x
1a
代入
x1x1a
l
x1x,得1a1a10,即1a
即1<a1l
11
,13分
1a
1a1l
3
ga0。
3已知函数fxx(2)设a
x.(1)求曲线yfx在点Mt,ft处的切线方程;
0,如果过点a,b可作曲线yfx的三条切线,证明:abfa.
2
解:(1)求函数fx的导数;fx3x
1.
曲线yfx在点Mt,ft处的切线方程为:yftftxt,
即
y3t1x2t.
232
(2)如果有一条切线过点a,b,则存在t,使b3t
1a2t.
3
3
于是,若过点a,b可作曲线yfx的三条切线,则方程2t有三个相异的实数根.记
3atab0
2
gt2t3atab,则
32
gt6t6at6tta.
2
当t变化时,gt,gt变化情况如下表:
t
,0
0
0,a
a
a,
fgt
0
0
gt
gt
极大值a
b
极小值bfa
由gt的单调性,当极大值a
b0或极小值bfa0时,方程gt0最多有一个实数根;
3a2
,即方程gt0只有两个相异的实数根;
当a
b0时,解方程gt0得t0,t
当bfa0时,解方程gt0得t
a2
,ta,即方程gt0只有两个相异的实数根.
综上,如果过a,b可作曲线yfx三条切线,即gt0有三个相异的实数根,则
ab0,bfa0
即
abfa.
4设函数fxl
xpx1(1)求函数fx的极值点
(2)当p0时,若对任意的x
0,恒有fx0,求p的取值范围
l
22
(3)证明:
l
22
2
2
l
33
2
2
2
1
2
2
1
N
2
1pxx
解:fxl
xpx1fx的定义域为(0,),fx
1x
p
当p0时,fx0fx在0,)上无极值点(
1p
x
当p0时,令fx0x
0fx、fx随x的变化情况如下表:
0
1p
1p
0
1p
+
-
fx
递增极大值递减
fx
从上表可以看出,当p0时,fx有唯一的极大值点r