分
当
同理可证l
x1x
l
x1＜x。9分1a1l
1a11al
1a11a1，11分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，gaf
将x
1a
代入
x1x1a
l
x1x，得1a1a10，即1a
即1＜a1l

11
，13分

1a
1a1l
3
ga0。
3已知函数fxx（2）设a
x．（1）求曲线yfx在点Mt，ft处的切线方程；
0，如果过点a，b可作曲线yfx的三条切线，证明：abfa．
2
解：（1）求函数fx的导数；fx3x
1．
曲线yfx在点Mt，ft处的切线方程为：yftftxt，
即
y3t1x2t．
232
（2）如果有一条切线过点a，b，则存在t，使b3t
1a2t．
3
3
于是，若过点a，b可作曲线yfx的三条切线，则方程2t有三个相异的实数根．记
3atab0
2
gt2t3atab，则
32
gt6t6at6tta．
2
当t变化时，gt，gt变化情况如下表：
t
，0
0
0，a
a
a，
fgt

0

0

gt
gt
极大值a
b
极小值bfa
由gt的单调性，当极大值a
b0或极小值bfa0时，方程gt0最多有一个实数根；
3a2
，即方程gt0只有两个相异的实数根；
当a
b0时，解方程gt0得t0，t
当bfa0时，解方程gt0得t
a2
，ta，即方程gt0只有两个相异的实数根．
综上，如果过a，b可作曲线yfx三条切线，即gt0有三个相异的实数根，则
ab0，bfa0
即
abfa．
4设函数fxl
xpx1（1）求函数fx的极值点
（2）当p0时，若对任意的x
0，恒有fx0，求p的取值范围
l

22
（3）证明：
l
22
2
2

l
33
2
2


2
1
2
2
1

N
2
1pxx
解：fxl
xpx1fx的定义域为（0，），fx
1x
p
当p0时，fx0fx在0，）上无极值点（
1p
x
当p0时，令fx0x
0fx、fx随x的变化情况如下表：
0
1p

1p
0

1p

＋
－
fx
递增极大值递减
fx
从上表可以看出，当p0时，fx有唯一的极大值点r