导数综合题训练1已知函数fxx
2
ax1l
x．
（Ⅰ）若fx在0
12
上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）函数fx是否既有极大值又有极小值？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）fx2xa
1x
…………1分
∵fx在0
12
上为减函数，∴x0
121x
时2xa
，则gx2
1x1x
0恒成立．
．
……3分
即a2x
1x
恒成立．设gx2x
2
∵x0
12
时
1x
2
＞4，∴gx
0，∴gx在0
12
上递减，
………6分
………5分
∴gx＞g
12
3，∴a≤3．
（Ⅱ）若fx既有极大值又有极小值，则首先必须fx0有两个不同正根x1x2，即2x
2
ax10有两个不同正根。
…………7分
02a80令aa2a002
∴当a＞2不妨设
2
2时，fx0有两个不等的正根
1x
（2x
2
…………10分
x1x2，由fx－
ax1）－
2x
xx1xx2知：
0xx1时fx＜0，x1xx2时fx＞0，xx2时fx＜0，
∴当a＞2
2时fx既有极大值fx2又有极小值fx1．
（Ⅰ）求fx的单调区间；0。
2设函数fxaxa1l
x1，其中a
（Ⅱ）当x
0时，证明不等式：
x1x
l
x1x；1aga0；ax1x1a0，
（Ⅲ）设fx的最小值为ga，证明不等式：
解：（Ⅰ）由已知得函数fx的定义域为1，且fx
fx0，解得x
1a
2分
当x变化时，fxfx的变化情况如下表：
x
1
1a

1a
0

1a

fx
－

fx

极小值

f由上表可知当x1
1a
时，fx0，函数fx在11a1a
1a
内单调递减，3分
当x
1a
时，fx0，函数fx在
内单调递增，4分1a。5分
所以函数fx的单调减区间是1
函数fx的单调增区间是x0。
（Ⅱ）设xl
x1
x1x
对x求导，得：x
1x1

11x
2

x1x
2
。7分
当
x0时，x0，所以x在0内是增函数。所以x在0上是增函数。x0时，xx0，即l
x1
x1x1ax1x0x1xl
x1。8r