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空间向量解决立体几何问题两妙招
“选基底”与“建系”→→→→1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，
y的值分别为________．
答案11，22
→→→解析如图，AE＝AA1＋A1E→1→＝AA1＋A1C12→1→→＝AA1＋AB＋AD，211所以x＝，y＝222．给出下列命题：→→→→①AB＋BC＋CD＋DA＝0；②a－b＝a＋b是a，b共线的充要条件；③若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；→1→1→④若OP＝OA＋OB，则P，A，B三点共线．23其中正确命题的序号是________．答案①解析由向量的运算法则知①正确；只有当向量a，b共线反向且ab时成立，故②不正11确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故③不正确；由＋≠123知，三点不共线，故④不正确．综上可得①正确．3．2014无锡模拟如图，
f已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．答案90°解析方法一延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，则AB1∥BD，∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三
棱柱的各条棱长为2，则BM＝5，BD＝22，
C1D2＝A1D2＋A1C21－2A1DA1C1cos60°＝16＋4－2×4＝12DM2＝C1D2＋C1M2＝13，BM2＋BD2－DM2∴cos∠DBM＝＝0，2BMBD
∴∠DBM＝90°→→→方法二不妨设棱长为2，选择基向量BA，BC，BB1，→→→→→1→则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，2→→→1→BB1－BABC＋BB12→→cos〈AB1，BM〉＝2250－2＋2＋0→→＝＝0，故〈AB1，BM〉＝90°2254．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．答案90°解析
不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，
f∴PE＝
22a，PF＝b，22
→→→→→→∴EMFN＝PM－PEPN－PF→→→→→→→→＝PMPN－PMPF－PEPN＋PEPF2222＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b2222＝－－＋＝0，2222→→∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°
abababab
5如图所示，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M1求证：AO、BO、CO两两垂直；→→2求〈DM，AO〉．→→→1证明设VA＝a，VB＝b，VC＝c，正四面体的棱长为1，→1则VD＝a＋b＋c，31→AO＝b＋c－5a，6→1→1BO＝a＋c－5b，CO＝a＋b－5c，66→→1∴AOBO＝b＋c－5aa＋c－5b3612＝18ab－9a361＝18×1×1cos60°r