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第3讲平面向量的数量积及应用
板块一知识梳理自主学习必备知识
考点1数量积的有关概念→→
1．两个非零向量a与b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹角；范围是0°≤θ≤180°
2．a与b的夹角为90度时，叫a⊥b3．若a与b的夹角为θ，则ab＝abcosθ4．若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则ab＝x1x2＋y1y25．a在b的方向上的投影为acosθ6．若a＝x1，y1，b＝x2，y2，夹角为θ，则a＝x21＋y21，cosθ＝x21＋x1xy122＋y1yx222＋y22a⊥bx1x2＋y1y2＝0a∥bx1y2－x2y1＝0考点2数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：1．ab＝ba2．λab＝λab＝aλb．3．a＋bc＝ac＋bc
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必会结论1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则ea＝ae＝acosθ；2．当a与b同向时，ab＝ab；当a与b反向时，ab＝－ab，特别地，aa＝a2或a＝a2；3．ab≤ab
考点自测1．判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”1两个向量的数量积是一个向量．2向量在另一个向量方向上的投影也是向量．3若ab＞0，则a和b的夹角为锐角；若ab＜0，则a和b的夹角为钝角．4若ab＝0，则a＝0或b＝05abc＝abc．6若ab＝aca≠0，则b＝c答案1×2×3×4×5×6×2．2018重庆模拟已知向量a＝k3，b＝14，c＝21，且2a－3b⊥c，则实数k＝A．－92B．0C．3D125答案C解析因为2a－3b＝2k－3，－6，2a－3b⊥c，所以2a－3bc＝22k－3－6＝0，解得k＝3选C3．2017全国卷Ⅰ已知向量a，b的夹角为60°，a＝2b＝1，则a＋2b＝________答案23解析解法一：a＋2b＝a＋2b2
＝a2＋4ab＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23解法二：数形结合法由a＝2b＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，
→如图，则a＋2b＝OC又∠AOB＝60°，所以a＋2b＝23
4．2018济南模拟已知向量b＝3，ab＝－12则向量a在向量b方向上的投影2
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是________．答案－4解析因为向量b＝3，ab＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是abb＝－312＝
－45．2016北京高考已知向量a＝1，3，b＝3，1，则a与b夹角的大小为
________．π
答案6解析ab＝23，∴cos〈a，b〉＝aabb＝22×32＝23，又〈a，b〉∈0，π，∴〈a，b〉r