第一课时《任意角的三角函数一》教学案
【创设情境】
y
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数O。
P（a，b）r
M
数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那
么它的终边在第一象限在的终边上任取一点Pab，它与
原点的距离ra2b20过P作x轴的垂线，垂足为M，则线a的终边
y
段OM的长度为a，线段MP的长度为b则si
MPb；OPr
Pxy

cosOMa；OPr
ta
MPbOMa
O
x
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边
上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r1的特殊位置上，
这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
si
MPb；cosOMa；ta
MPb
OP
OP
OMa
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么，角的概念推广以
后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究
这个问题——任意角的三角函数
【探究新知】
1探究结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值
呢？
f显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类
似锐角求得该角的三角函数值了所以，我们在此引入单位圆的定义在直角坐标系中，我们
称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆
2思考如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Pxy，那么
1y叫做的正弦si
e，记做si
，即si
y；2x叫做的余弦cossi
e，记做cos，即cosx；
3y叫做的正切ta
ge
t，记做ta
，即ta
yx0
x
x
注意当α是锐角时，此定义与初中定义相同指出对边，邻边，斜边所在；当α不是
锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交
点Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值
3思考如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三
角函数值呢？
前面我们已经知道，三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关我
们只需计算点到原点的距离r
x2y2，那么si

yx2
y2
，cos

xx2y2，
ta
r