题）底面是等腰直角三角形，如图3，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB90，，
o
的中点，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD，上的射影是ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。。所成角的大小。（结果用反三角函数表示）结果用反三角函数表示）为坐标原点，解以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为
z
C1DEGCBB1
A1
y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，建立直角坐标系，
设CACBa，则A（a00）B（0a0）A1a02）D（001），，（，∴E（
x
A
图3
y
aaaa11）G（），，22333
aa2GE（）BD0a1），（，663
∵点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，，∴GE⊥平面ABD，，∴GE（∴GEBD0，解得a2。
112），333
BA1222）（，
的一个法向量。∵GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量。，
由
cosGEBA1
GEBA1GEBA1

436233

23
2
f得
GEBA1arccos
2，3
∴A1B与平面ABD所成的角为
π
2
arccos
27，即arccos。33
评析
因规定直线与平面所成角θ∈0，，两向量所成角α∈0，π，所以用此
π
2
法向量求出的线面角应满足θ
π
2
α。
22利用法向量可处理二面角问题的法向量，设
1
2分别为平面αβ的法向量，二面角αlβ的大小为θ，向量

1
2的夹角为，则有θπ（图4）或θ（图5）））

ω
αθlβ
αθ


ω
图4
l
β

图5
北京卷高考题）例2（2003年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1，，D是CB延长线上一点，且BDBC。延长线上一点，的大小。略去了该题的①（略去了该题的（求二面角B1ADB的大小。略去了该题的①，③问）解取BC的中点O，连AO。，。由题意平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊥BC，∴AO⊥平面BCC1B1，为原点，所示空间直角坐标系，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则A（00
OBB1DCC1A
33，2
z
A1
y
图6
x
339333）B（00）D（00）B（，，，130），22222
3
f∴AD（0
92
3333）B1D330）BB1030），（，（，222330）的法向量。为平面ABD的法向量。2
由题意
BB1⊥平面ABD，∴BB10，（
设平面AB1D的法向量为
2xyz，
392x23z0
2⊥AD
2AD0则，∴，∴，3
2⊥B1D
2r