法向量在立体几何中的应用
查宝才扬州市新华中学，（扬州市新华中学，江苏225002））
向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法向量法。下面就向量中的一种特殊向量法向量，向量法法向量的思想方法向量法。下面就向量中的一种特殊向量法向量，结合近几年的高考谈谈其在立体几何有关问题中的应用。题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。1法向量的定义垂直，的法向量。11定义1如果一个非零向量
与平面α垂直，则称向量
为平面α的法向量。
222任意一个三元一次方程：12定义2任意一个三元一次方程：AxByCzD0，ABC2
都表示空间直角坐标系内的一个平面，为其一个法向量。≠0都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中
ABC为其一个法向量。1上的一个定点，事实上，事实上，设点P0x0y0z0是平面α上的一个定点，
ABC是平面α的法向量，上任一点，向量，设点Pxyz是平面α上任一点，则总有P0P⊥
。∴P0P
0，故ABCxx0yy0zz00，即
Axx0Byy0Czz00，
∴AxByCzAx0By0Cz00，……①设DAx0By0Cz0，
222的轨迹方程。则①式可化为AxByCzD0ABC≠0，即为点P的轨迹方程。222从而，任意一个三元一次方程：从而，任意一个三元一次方程：AxByCzD0ABC≠0，
都表示一个平面的方程，都表示一个平面的方程，其法向量为
ABC。2法向量在立体几何中的应用21利用法向量可处理线面角问题所成的角，设θ为直线l与平面α所成的角，为直线l的方向向量v与平面α的法向量
之
1
f间的夹角，则有的夹角，
π
2
θ（图1）或）
π
2
θ（图2））
v

v
ωθα
特别地
图1
α
θωl

图2
l
0时，θ
π
2
，l⊥α；
π
2
时，θ0，lα或lα
辽宁卷高考题）例1（2003年新课程、江苏、辽宁卷高考r