解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用
例1如图1，P为椭圆
上一动点，
为其两焦点，从
的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1
解析：易知
故
在
中，
则点M的轨迹方程为
。
二、双曲线定义的深层运用
例2如图2，
为双曲线
的两焦点，P为其上一动点，从
的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，
则
，
即
在
故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用
例3如图3，AB为抛物线短距离。
的一条弦，AB＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最
f图3
解析：易知抛物线
的准线l：
，
作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线
的最短距离为2
故M到直线y＝－1的最短距离为
。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，
求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用
（即通径长）时，才能用上述解法。
例4①已知圆为（）
，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹
图4
②已知圆
，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）
A圆B椭圆
C双曲线D抛物线
解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知QM＝QP，
而QM＝OM－OQ＝2－OQ
即OQ＋QP＝2＞OP＝
故Q的轨迹是以O（0，0）、P
为焦点
长轴长为2的椭圆。应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦
点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨
迹方程。
f图5解析：①由椭圆定义知，AP＋AC＝BP＋BC，
即故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为
；
②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上
总有QA＋QB＝AC＋BC＝28＞AB＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点
长轴长为28的椭圆，其方程为
。
［练习］
1已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线Cr