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解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用
例1如图1,P为椭圆
上一动点,
为其两焦点,从
的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。
图1
解析:易知


中,
则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用
例2如图2,
为双曲线
的两焦点,P为其上一动点,从
的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。
图2解析:不妨设P点在双曲线的右支上,延长F1M交PF2的延长线于N,




故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用
例3如图3,AB为抛物线短距离。
的一条弦,AB=4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y=-1的最
f图3
解析:易知抛物线
的准线l:

作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M”

即M到直线
的最短距离为2
故M到直线y=-1的最短距离为

评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,
求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用
(即通径长)时,才能用上述解法。
例4①已知圆为()
,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹
图4
②已知圆
,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为()
A圆B椭圆
C双曲线D抛物线
解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知QM=QP,
而QM=OM-OQ=2-OQ
即OQ+QP=2>OP=
故Q的轨迹是以O(0,0)、P
为焦点
长轴长为2的椭圆。应选B。
②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦
点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨
迹方程。
f图5解析:①由椭圆定义知,AP+AC=BP+BC,
即故P的轨迹为A(-7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支,
其方程为

②经讨论知,无论A在双曲线的哪一支上
总有QA+QB=AC+BC=28>AB=14
故点Q的轨迹为以A(-7,0)、B(7,0)为焦点
长轴长为28的椭圆,其方程为

[练习]
1已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为F1、F2,抛物线Cr
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